2021 AMC 12A Fall Problema 20

Question

Para cada entero positivo

n,

sea

f_1(n)

el doble del número de divisores enteros positivos de

n,

y para

j \ge 2,

sea

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).

¿Para cuántos valores de

n \le 50

se cumple

f_{50}(n) = 12

?

For each positive integer

n,

let

f_1(n)

be twice the number of positive integer divisors of

n,

and for

j \ge 2,

let

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).

For how many values of

n \le 50

is

f_{50}(n) = 12?

7

8

9

10

11

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores recursión

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,

así que

12

es un punto fijo;

f_1(8) = 2\cdot 4 = 8

es otro

f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,

so

12

is a fixed point;

f_1(8) = 2\cdot 4 = 8

is another

Pista grande:

Después de suficientes pasos, cada

n

cae en

8

o

12;

cuenta aquellos cuya órbita llega a

12

After enough steps every

n

lands on

8

or

12;

count those whose orbit reaches

12

Solución:

Tanto

8

como

12

son puntos fijos. Para

n\le50,

el primer valor

f_1(n)=2d(n)

es a lo sumo

20.

Al revisar los valores pares hasta

20

, una órbita llega a

12

exactamente cuando su primer valor es

12,18,

o

20.

Por tanto, necesitamos

d(n)=6,9,

o

10.

Los números no mayores que

50

con

6

divisores son

12,18,20,28,32,44,45,50;

el único con

9

divisores es

36,

y el único con

10

divisores es

48.

Estos

10

valores llegan todos al punto fijo

12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Both

8

and

12

are fixed. For

n\le50,

the first value

f_1(n)=2d(n)

is at most

20.

Checking the even values through

20

shows that an orbit reaches

12

exactly when its first value is

12,18,

or

20.

Thus we need

d(n)=6,9,

or

10.

The numbers at most

50

with

6

divisors are

12,18,20,28,32,44,45,50;

the only one with

9

divisors is

36,

and the only one with

10

divisors is

48.

These

10

values all reach the fixed point

12.

Thus, the correct answer is D.