2021 AMC 12A Fall Problema 18

Question

Cada una de

20

pelotas se lanza independientemente y al azar a uno de

5

recipientes. Sea

p

la probabilidad de que algún recipiente termine con

3

pelotas, otro con

5

pelotas, y los otros tres con

4

pelotas cada uno. Sea

q

la probabilidad de que cada recipiente termine con

4

pelotas. ¿Cuánto vale

\dfrac{p}{q}

?

Each of

20

balls is tossed independently and at random into one of

5

bins. Let

p

be the probability that some bin ends up with

3

balls, another with

5

balls, and the other three with

4

balls each. Let

q

be the probability that every bin ends up with

4

balls. What is

\dfrac{p}{q}?

1

4

8

12

16

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Ambas probabilidades comparten el mismo denominador

5^{20}

, así que

\dfrac{p}{q}

es un cociente de conteos

Both probabilities share the same

5^{20}

denominator, so

\dfrac{p}{q}

is a ratio of counts

Pista grande:

q

usa

\dfrac{20!}{(4!)^5};

p

usa

5\cdot 4

elecciones de los recipientes especiales por

\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}

q

uses

\dfrac{20!}{(4!)^5};

p

uses

5\cdot 4

choices of the special bins times

\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}

Solución:

Ambas probabilidades se dividen entre

5^{20},

así que

\dfrac{p}{q}

es un cociente de conteos de disposiciones.

Para

q,

todos los recipientes tienen

4:

\dfrac{20!}{(4!)^5}.

Para

p,

elige cuál recipiente tiene

3

y cuál tiene

5

de

5\cdot 4 = 20

maneras, por

\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.

Por lo tanto

\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both probabilities divide by

5^{20},

so

\dfrac{p}{q}

is a ratio of arrangement counts.

For

q,

all bins have

4:

\dfrac{20!}{(4!)^5}.

For

p,

choose which bin has

3

and which has

5

in

5\cdot 4 = 20

ways, times

\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.

Therefore

\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.