2021 AMC 12B Spring Problema 18

Question

Sea

z

un número complejo que satisface

12|z|^2

=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.

¿Cuál es el valor de

z+\dfrac{6}{z}

?

Let

z

be a complex number satisfying

12|z|^2

=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.

What is the value of

z+\dfrac{6}{z}?

-2

-1

\dfrac{1}{2}

1

4

Respuesta: A

Conceptos:número complejo completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Sea

p=|z|^2

y

s=z+\bar z;

desarrolla cada módulo usando

|w|^2=w\bar w

Let

p=|z|^2

and

s=z+\bar z;

expand every modulus using

|w|^2=w\bar w

Pista grande:

La ecuación se reduce a

(p-6)^2+(s+2)^2=0

The equation collapses to

(p-6)^2+(s+2)^2=0

Solución:

Sea

p=|z|^2=z\bar z

y

s=z+\bar z.

Entonces

|z+2|^2=p+2s+4,

y

|z^2+1|^2

=p^2+(z^2+\bar z^2)+1

=p^2+(s^2-2p)+1.

Sustituyendo,

12p=2(p+2s+4)

+p^2+s^2-2p+1+31,

lo que se simplifica a

p^2-12p+s^2+4s+40=0.

Completando el cuadrado se obtiene

(p-6)^2+(s+2)^2=0,

así que

p=6

y

s=-2.

Entonces

z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

p=|z|^2=z\bar z

and

s=z+\bar z.

Then

|z+2|^2=p+2s+4,

and

|z^2+1|^2

=p^2+(z^2+\bar z^2)+1

=p^2+(s^2-2p)+1.

Substituting,

12p=2(p+2s+4)

+p^2+s^2-2p+1+31,

which simplifies to

p^2-12p+s^2+4s+40=0.

Completing the square gives

(p-6)^2+(s+2)^2=0,

so

p=6

and

s=-2.