2020 AMC 12B Problema 18

Question

En el cuadrado

ABCD,

los puntos

E

y

H

están sobre

\overline{AB}

y

\overline{DA},

respectivamente, de modo que

AE = AH.

Los puntos

F

y

G

están sobre

\overline{BC}

y

\overline{CD},

respectivamente, y los puntos

I

y

J

están sobre

\overline{EH}

de modo que

\overline{FI} \perp \overline{EH}

y

\overline{GJ} \perp \overline{EH}.

Ve la figura de abajo. El triángulo

AEH,

el cuadrilátero

BFIE,

el cuadrilátero

DHJG,

y el pentágono

FCGJI

tienen área

1.

¿Cuánto vale

FI^2

?

In square

ABCD,

points

E

and

H

lie on

\overline{AB}

and

\overline{DA},

respectively, so that

AE = AH.

Points

F

and

G

lie on

\overline{BC}

and

\overline{CD},

respectively, and points

I

and

J

lie on

\overline{EH}

so that

\overline{FI} \perp \overline{EH}

and

\overline{GJ} \perp \overline{EH}.

See the figure below. Triangle

AEH,

quadrilateral

BFIE,

quadrilateral

DHJG,

and pentagon

FCGJI

each has area

1.

What is

FI^2?

\dfrac73

8 - 4\sqrt{2}

1 + \sqrt{2}

\dfrac74 \sqrt{2}

2\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Las cuatro regiones cubren el cuadrado, así que su área es

4

y su lado es

2

.

The four regions tile the square, so its area is

4

and its side is

2

Pista grande:

\triangle AEH

es un triángulo rectángulo isósceles de área

1,

así que

AE = \sqrt2;

establece coordenadas y usa el área de

BFIE

.

\triangle AEH

is an isosceles right triangle of area

1,

so

AE = \sqrt2;

set coordinates and use the area of

BFIE

Solución:

Las cuatro regiones tienen área total

4,

así que el cuadrado tiene lado

2.

Pon

A = (0, 0),

B = (2, 0),

C = (2, 2),

D = (0, 2).

Como

\triangle AEH

es un triángulo rectángulo isósceles de área

1,

obtenemos

AE = AH = \sqrt2,

así que

E = (\sqrt2, 0)

y

H = (0, \sqrt2).

La recta

EH

es

x + y = \sqrt2.

Sea

F = (2, t).

Su distancia perpendicular a la recta

EH

es

FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}.

Escribe

s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2};

entonces el pie de la perpendicular es

I=(2-s,t-s).

La fórmula del cordón para

B=(2,0),

F,

I,

y

E=(\sqrt2,0)

da

[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2).

Como esta área es

1,

se obtiene

s^2=4-2\sqrt2.

Entonces

FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The four regions have total area

4,

so the square has side

2.

Put

A = (0, 0),

B = (2, 0),

C = (2, 2),

D = (0, 2).

Since

\triangle AEH

is an isosceles right triangle with area

1,

we get

AE = AH = \sqrt2,

so

E = (\sqrt2, 0)

and

H = (0, \sqrt2).

Line

EH

is

x + y = \sqrt2.

Let

F = (2, t).

Its perpendicular distance to line

EH

is

FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}.

Write

s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2},

so the foot of the perpendicular is

I=(2-s,t-s).

The shoelace formula on

B=(2,0),

F,

I,

and

E=(\sqrt2,0)

gives

[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2).

Since this area is

1,

we get

s^2=4-2\sqrt2.

Then

FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años