2019 AMC 12A Problema 5

Question

Dos rectas de pendientes

\dfrac{1}{2}

y

2

se cortan en

(2, 2).

¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta

x + y = 10

?

Two lines with slopes

\dfrac{1}{2}

and

2

intersect at

(2, 2).

What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line

x + y = 10?

4

4\sqrt{2}

6

8

6\sqrt{2}

Halla dónde se cruza cada recta con

x + y = 10

Find where each line meets

x + y = 10

Los tres vértices son

(2, 2),

(6, 4),

y

(4, 6);

usa la fórmula del cordón

The three vertices are

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6);

use the shoelace formula

Las dos rectas son

y = \tfrac{1}{2}x + 1

y

y = 2x - 2.

Al intersecar cada una con

x + y = 10

se obtienen los puntos

(6, 4)

y

(4, 6).

El triángulo tiene vértices

(2, 2),

(6, 4),

y

(4, 6).

Por la fórmula del cordón,

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two lines are

y = \tfrac{1}{2}x + 1

and

y = 2x - 2.

Intersecting each with

x + y = 10

gives the points

(6, 4)

and

(4, 6).

The triangle has vertices

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6).

By the shoelace formula,

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

El Problema 5 en otros años