2018 AMC 12B Problema 21

Question

En el

\triangle ABC

con longitudes de lado

AB=13,

AC=12,

y

BC=5,

sean

O

e

I

el circuncentro y el incentro, respectivamente. Un círculo con centro

M

es tangente a los catetos

AC

y

BC

y a la circunferencia circunscrita del

\triangle ABC.

¿Cuál es el área del

\triangle MOI

?

In

\triangle ABC

with side lengths

AB=13,

AC=12,

and

BC=5,

let

O

and

I

denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center

M

is tangent to the legs

AC

and

BC

and to the circumcircle of

\triangle ABC.

What is the area of

\triangle MOI?

\dfrac{5}{2}

\dfrac{11}{4}

3

\dfrac{13}{4}

\dfrac{7}{2}

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

El triángulo es rectángulo en

C;

coloca

C

en el origen con los catetos sobre los ejes.

The triangle is right-angled at

C;

put

C

at the origin with the legs on the axes

Pista grande:

O

es el punto medio de la hipotenusa e

I=(2,2);

el círculo en

M=(\rho,\rho)

es tangente a la circunferencia circunscrita.

O

is the midpoint of the hypotenuse and

I=(2,2);

the circle at

M=(\rho,\rho)

is tangent to the circumcircle

Solución:

Como

5^2+12^2=13^2,

el triángulo es rectángulo en

C.

Pon

C=(0,0),

A=(12,0),

y

B=(0,5).

Entonces

O

es el punto medio de

\overline{AB},

es decir

O=\left(6,\tfrac52\right),

con circunradio

\tfrac{13}{2}.

El inradio es

\tfrac{\text{área}}{s}=\tfrac{30}{15}=2,

por lo que

I=(2,2).

Como el círculo de

M

es tangente a ambos catetos,

M=(\rho,\rho).

La tangencia interna con la circunferencia circunscrita da

MO=\tfrac{13}{2}-\rho.

Igualando esto a

\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}

y resolviendo se obtiene

\rho=4,

por lo que

M=(4,4).

La fórmula del cordón de zapato sobre

M=(4,4),

O=\left(6,\tfrac52\right),

I=(2,2)

da un área de

\tfrac72.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

5^2+12^2=13^2,

the triangle is right-angled at

C.

Set

C=(0,0),

A=(12,0),

and

B=(0,5).

Then

O

is the midpoint of

\overline{AB},

namely

O=\left(6,\tfrac52\right),

with circumradius

\tfrac{13}{2}.

The inradius is

\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2,

so

I=(2,2).

Because

M

’s circle is tangent to both legs,

M=(\rho,\rho).

Internal tangency to the circumcircle gives

MO=\tfrac{13}{2}-\rho.

Setting this equal to

\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}

and solving gives

\rho=4,

so

M=(4,4).

The shoelace formula on

M=(4,4),

O=\left(6,\tfrac52\right),

I=(2,2)

gives area

\tfrac72.

Thus, the correct answer is E.