2018 AMC 12B Problema 20

Question

Sea

ABCDEF

un hexágono regular de lado

1.

Denota por

X,

Y,

y

Z

los puntos medios de los lados

AB,

CD,

y

EF,

respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de

\triangle ACE

y

\triangle XYZ

?

Let

ABCDEF

be a regular hexagon with side length

1.

Denote by

X,

Y,

and

Z

the midpoints of sides

AB,

CD,

and

EF,

respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of

\triangle ACE

and

\triangle XYZ?

\dfrac{3}{8}\sqrt{3}

\dfrac{7}{16}\sqrt{3}

\dfrac{15}{32}\sqrt{3}

\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

\dfrac{9}{16}\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular razón de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Coloca el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria y escribe las coordenadas de

A,C,E

y de los tres puntos medios.

Put the regular hexagon on the unit circle and write coordinates for

A,C,E

and the three midpoints

Pista grande:

Interseca las rectas laterales de los dos triángulos equiláteros para hallar los seis vértices, y luego usa la fórmula del cordón.

Intersect the side lines of the two equilateral triangles to find the six vertices, then use shoelace

Solución:

Coloquemos el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria con

A=(1,0),

C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),

y

E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}).

Los tres puntos medios indicados son

X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),

Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),

y

Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).

Al intersectar las rectas laterales de

\triangle ACE

y

\triangle XYZ

, se obtienen los seis vértices de su interior común, en orden cíclico:

\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}

La fórmula del cordón aplicada a estos vértices da el área

\dfrac{15\sqrt3}{32}.

Así, la respuesta correcta es C.

Place the regular hexagon on the unit circle with

A=(1,0),

C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),

and

E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}).

The three specified midpoints are

X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),

Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),

and

Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).

Intersecting the side lines of

\triangle ACE

and

\triangle XYZ

gives the six vertices of their common interior, in cyclic order:

\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}

The shoelace formula applied to these vertices gives area

\dfrac{15\sqrt3}{32}.

Thus, the correct answer is C.