2018 AMC 12A Problema 18

Question

El triángulo

ABC

con

AB = 50

y

AC = 10

tiene área

120.

Sea

D

el punto medio de

\overline{AB},

y sea

E

el punto medio de

\overline{AC}.

La bisectriz del

\angle BAC

corta a

\overline{DE}

y

\overline{BC}

en

F

y

G,

respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero

FDBG

?

Triangle

ABC

with

AB = 50

and

AC = 10

has area

120.

Let

D

be the midpoint of

\overline{AB},

and let

E

be the midpoint of

\overline{AC}.

The angle bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{DE}

and

\overline{BC}

at

F

and

G,

respectively. What is the area of quadrilateral

FDBG?

60

65

70

75

80

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como

D, E

son puntos medios,

[ADE] = \tfrac14 [ABC],

así que el trapecio

EDBC

es el

\tfrac34

restante

Since

D, E

are midpoints,

[ADE] = \tfrac14 [ABC],

so trapezoid

EDBC

is the remaining

\tfrac34

Pista grande:

Por el Teorema de la Bisectriz, la bisectriz corta a

DE

y

BC

en razón

AB : AC = 5 : 1,

haciendo que

FDBG

sea igual a

\tfrac56

de

EDBC

By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts

DE

and

BC

in ratio

AB : AC = 5 : 1,

making

FDBG

equal to

\tfrac56

of

EDBC

Solución:

Como

D

y

E

son puntos medios,

\triangle ADE

tiene

\tfrac14

del área de

\triangle ABC,

a saber

30,

así que el trapecio

EDBC

tiene área

120 - 30 = 90.

Por el Teorema de la Bisectriz,

G

divide a

BC

con

BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,

y de igual modo

F

divide a

DE

de modo que

DF = \tfrac56 DE.

Como

FDBG

y

EDBC

comparten la misma altura, el área de

FDBG

es

\tfrac56

del área de

EDBC:

\tfrac56 \cdot 90 = 75.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

D

and

E

are midpoints,

\triangle ADE

has

\tfrac14

the area of

\triangle ABC,

namely

30,

so trapezoid

EDBC

has area

120 - 30 = 90.

By the Angle Bisector Theorem,

G

divides

BC

with

BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,

and likewise

F

divides

DE

so that

DF = \tfrac56 DE.

Because

FDBG

and

EDBC

share the same height, the area of

FDBG

is

\tfrac56

of the area of

EDBC:

\tfrac56 \cdot 90 = 75.

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años