2017 AMC 12B Problema 25

Sea $T$ el número de equipos. Cada equipo se cuenta $\binom{n-5}{4}$ veces en la suma de tamaño $9$ y $\binom{n-5}{3}$ veces en la suma de tamaño $8$

La condición se convierte en $T =$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7};$ cuenta los $n$ que la hacen entera

Sea $T$ el número de equipos. Al sumar sobre los subconjuntos de tamaño $9$, cada equipo se cuenta $\binom{n-5}{4}$ veces; al sumar sobre los de tamaño $8$, se cuenta $\binom{n-5}{3}$ veces. Los promedios son $\dfrac{\binom{n-5}{4}T}{\binom n9}$ y $\dfrac{\binom{n-5}{3}T}{\binom n8};$ al igualar el primero al recíproco del segundo y simplificar se obtiene $$\begin{aligned} &T \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}. \end{aligned}$$ Necesitamos que sea un entero positivo con $n \ge 9.$ Sea $N =$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4);$ como producto de cinco enteros consecutivos, $N$ siempre es divisible por $5.$ La condición de que $N$ sea divisible por $7$ se cumple para $5$ residuos módulo $7;$ la divisibilidad por $9$, para $7$ residuos módulo $9;$ y la divisibilidad por $32$, para $8$ residuos módulo $16.$ El teorema chino del resto da entonces $5\cdot7\cdot8=280$ soluciones módulo $\operatorname{lcm}(7,9,16)=1008.$ Por tanto, hay $560$ valores en $1 \le n \le 2016;$ al quitar $n = 1, 2, 3, 4$ (menores que $9$) y agregar $n = 2017$ (pues $2017 \equiv 1 \pmod{1008}$), quedan $560 - 4 + 1 = 557$ valores válidos.

Así, la respuesta correcta es D.