2017 AMC 12B Problema 20

Question

Se eligen números reales

x

y

y

de manera independiente y uniforme al azar en el intervalo

(0, 1).

¿Cuál es la probabilidad de que

\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,

donde

\lfloor r \rfloor

denota el mayor entero menor o igual que el número real

r

?

Real numbers

x

and

y

are chosen independently and uniformly at random from the interval

(0, 1).

What is the probability that

\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,

where

\lfloor r \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to the real number

r?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica funciones piso y techo sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactamente cuando

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactly when

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}

Pista grande:

Para cada

n,

tanto

x

como

y

deben caer en ese intervalo de longitud

\dfrac{1}{2^n};

suma las áreas resultantes

For each

n,

both

x

and

y

must land in that interval of length

\dfrac{1}{2^n};

sum the resulting areas

Solución:

Para cada entero positivo

n,

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactamente cuando

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},

un intervalo de longitud

\dfrac{1}{2^n}.

El evento de que ambas partes enteras sean iguales a

-n

es un cuadrado de área

\dfrac{1}{4^n}.

Sumando sobre todos los

n,

la probabilidad es

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For each positive integer

n,

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactly when

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},

an interval of length

\dfrac{1}{2^n}.

The event that both floors equal

-n

is a square of area

\dfrac{1}{4^n}.

Summing over all

n,

the probability is

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.