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2016 AMC 12A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2016 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2002.200\sqrt{2}. Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud 200.200. ¿Cuál es la longitud de su cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius 2002.200\sqrt{2}. Three of the sides of this quadrilateral have length 200.200. What is the length of its fourth side?

200200

2002200\sqrt{2}

2003200\sqrt{3}

3002300\sqrt{2}

500500

Respuesta: E
Conceptos:cuadrilátero cíclicoley de los cosenosidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2040
Solución:

Sea θ\theta el ángulo central que subtiende un lado de longitud 200,200, con radio R=2002.R=200\sqrt2. Por la ley de los cosenos en el triángulo isósceles formado con el centro, 2002=2R2(1−cos⁡θ)=160000(1−cos⁡θ), \begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered} así que cos⁡θ=34.\cos\theta=\dfrac34.

Los tres lados iguales ocupan tres arcos consecutivos de ángulo θ,\theta, por lo que el cuarto arco tiene ángulo 2π−3θ.2\pi-3\theta. Su cuerda tiene la misma longitud que una cuerda de ángulo central 3θ,3\theta, y cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ=4⋅2764−94=−916. \begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered} El cuadrado de su longitud es 2R2(1−cos⁡3θ)=160000(1+916)=160000⋅2516=250000, \begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered} así que el cuarto lado mide 500.500.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let θ\theta be the central angle subtending a side of length 200,200, with radius R=2002.R=200\sqrt2. By the law of cosines on the isosceles triangle from the center, 2002=2R2(1−cos⁡θ)=160000(1−cos⁡θ), \begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered} so cos⁡θ=34.\cos\theta=\dfrac34.

The three equal sides use three consecutive arcs of angle θ,\theta, so the fourth arc has angle 2π−3θ.2\pi-3\theta. Its chord has the same length as a chord with central angle 3θ,3\theta, and cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ=4⋅2764−94=−916. \begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered} Its length squared is 2R2(1−cos⁡3θ)=160000(1+916)=160000⋅2516=250000, \begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered} so the fourth side is 500.500.

Thus, the correct answer is E.

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