2016 AMC 12A Problema 20

Question

Una operación binaria

\diamond

tiene las propiedades de que

a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c

y que

a\diamond a=1

para todos los números reales no nulos

a,

b,

y

c.

(Aquí el punto

\cdot

representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación

2016\diamond(6\diamond x)=100

puede escribirse como

\dfrac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

p+q

?

A binary operation

\diamond

has the properties that

a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c

and that

a\diamond a=1

for all nonzero real numbers

a,

b,

and

c.

(Here the dot

\cdot

represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation

2016\diamond(6\diamond x)=100

can be written as

\dfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p+q?

109

201

301

3049

33{,}601

Respuesta: A

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa

a\diamond a=1

para simplificar

a\diamond(a\diamond a)

.

Use

a\diamond a=1

to simplify

a\diamond(a\diamond a)

Pista grande:

Demuestra que

a\diamond b=\dfrac{a}{b},

así que

2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}

.

Show

a\diamond b=\dfrac{a}{b},

so

2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}

Solución:

Al poner

b=c=a

se obtiene

a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)

=(a\diamond a)\cdot a=a.

Luego, al poner

c=b

se obtiene

a=a\diamond 1

=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,

así que

a\diamond b=\dfrac{a}{b}.

Por lo tanto

\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered}

así que

x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}

y

p+q=25+84=109.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting

b=c=a

gives

a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)

=(a\diamond a)\cdot a=a.

Then setting

c=b

gives

a=a\diamond 1

=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,

so

a\diamond b=\dfrac{a}{b}.

Therefore

\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered}

so

x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}

and

p+q=25+84=109.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años