2016 AMC 12A Problema 18

Question

Para cierto entero positivo

n,

el número

110n^3

tiene

110

divisores enteros positivos, incluyendo

1

y el propio número

110n^3.

¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número

81n^4

?

For some positive integer

n,

the number

110n^3

has

110

positive integer divisors, including

1

and the number

110n^3.

How many positive integer divisors does the number

81n^4

have?

110

191

261

325

425

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

110=2\cdot5\cdot11,

así que

110n^3

tiene exactamente tres factores primos.

110=2\cdot5\cdot11,

so

110n^3

has exactly three prime factors

Pista grande:

Los exponentes más uno se multiplican para dar

110=2\cdot5\cdot11;

deduce

n=p\cdot q^3

.

The exponents plus one multiply to

110=2\cdot5\cdot11;

deduce

n=p\cdot q^3

Solución:

El número

110n^3

es divisible entre los tres primos distintos

2,5,11.

Si sus exponentes primos son

r_1,r_2,\ldots,

entonces

(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,

donde

110=2\cdot5\cdot11.

Como ya hay al menos tres factores mayores que

1,

hay exactamente tres, así que ningún otro primo divide a

n.

Cada exponente de

110n^3

es

1\pmod3,

por lo que cada factor

r_i+1

del número de divisores es

2\pmod3.

Los factores

2,5,11

tienen todos esa forma, así que los exponentes son

1,4,10

en algún orden. Tras restar el exponente

1

aportado por

110

y dividir entre

3,

los exponentes de

n

son

0,1,3

en algún orden. Por tanto,

n=pq^3

para dos primos distintos

p,q

elegidos de

2,5,11.

En consecuencia,

n^4

tiene exponentes

4

y

12,

mientras que

81=3^4

introduce un tercer primo porque

n

no es divisible por

3.

Así, la cantidad de divisores de

81n^4

es

\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number

110n^3

is divisible by the three distinct primes

2,5,11.

If its prime exponents are

r_1,r_2,\ldots,

then

(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,

where

110=2\cdot5\cdot11.

Because there are already at least three factors greater than

1,

there are exactly three, so no other prime divides

n.

Each exponent in

110n^3

is

1\pmod3,

so each divisor-count factor

r_i+1

is

2\pmod3.

The factors

2,5,11

all have that form, so the exponents are

1,4,10

in some order. After subtracting the exponent

1

from

110

and dividing by

3,

the exponents in

n

are

0,1,3

in some order. Thus

n=pq^3

for two distinct primes

p,q

chosen from

2,5,11.

Consequently

n^4

has exponents

4

and

12,

while

81=3^4

introduces a third prime because

n

is not divisible by

3.

Hence the number of divisors of

81n^4

is

\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.