Question

Cozy the Cat y Dash the Dog suben una escalera con cierto número de escalones. Sin embargo, en lugar de subir los escalones de uno en uno, tanto Cozy como Dash saltan. Cozy sube dos escalones con cada salto (aunque si es necesario, solo saltará el último escalón). Dash sube cinco escalones con cada salto (aunque si es necesario, solo saltará los últimos escalones si quedan menos de $5$ ). Supón que Dash da $19$ saltos menos que Cozy para llegar a la cima de la escalera. Sea $s$ la suma de todos los números posibles de escalones que puede tener esta escalera. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $s$ ?

Cozy the Cat and Dash the Dog are going up a staircase with a certain number of steps. However, instead of walking up the steps one at a time, both Cozy and Dash jump. Cozy goes two steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last step). Dash goes five steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last steps if there are fewer than $5$ steps left). Suppose that Dash takes $19$ fewer jumps than Cozy to reach the top of the staircase. Let $s$ denote the sum of all possible numbers of steps this staircase can have. What is the sum of the digits of $s?$

$9$

$11$

$12$

$13$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:funciones piso y techo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Una escalera de $t$ peldaños requiere $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ saltos de Cozy y $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ saltos de Dash, y necesitamos que la diferencia sea $19.$

Supongamos que Dash da $d+1$ saltos. Entonces $t$ es uno de $5d+1,$ $5d+2,$ $5d+3,$ $5d+4,$ $5d+5.$ Cozy da $d+20$ saltos, así que $t$ es $2d+39$ o $2d+40.$ Al igualar las dos listas, solo se obtiene un entero $d$ en los tres casos $\begin{gathered} 5d+3=2d+39,\\ 5d+1=2d+40,\\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ Estos dan, respectivamente, $t=63,66,64.$ Por tanto, los valores válidos son $t=63,$ $64,$ y $66,$ de modo que $s = 63 + 64 + 66 = 193.$ Su suma de cifras es $1 + 9 + 3 = 13.$

Así, la respuesta correcta es D.

A staircase of $t$ steps takes Cozy $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ jumps and Dash $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ jumps, and we need the difference to equal $19.$

Suppose Dash makes $d+1$ jumps. Then $t$ is one of $5d+1,$ $5d+2,$ $5d+3,$ $5d+4,$ $5d+5.$ Cozy makes $d+20$ jumps, so $t$ is either $2d+39$ or $2d+40.$ Equating these two lists gives an integer $d$ only in the three cases $\begin{gathered} 5d+3=2d+39,\\ 5d+1=2d+40,\\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ These yield respectively $t=63,66,64.$ Thus the valid values are $t=63,$ $64,$ and $66,$ so $s = 63 + 64 + 66 = 193.$ Its digit sum is $1 + 9 + 3 = 13.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

El Problema 21 en otros años