2015 AMC 12B Problema 18

Question

Para cada entero positivo compuesto

n,

define

r(n)

como la suma de los factores en la factorización en primos de

n.

Por ejemplo,

r(50) = 12

porque la factorización en primos de

50

es

2 \cdot 5^2,

y

2 + 5 + 5 = 12.

¿Cuál es el rango de la función

r,

\{r(n) : n \text{ es un entero positivo compuesto}\}

?

For every composite positive integer

n,

define

r(n)

to be the sum of the factors in the prime factorization of

n.

For example,

r(50) = 12

because the prime factorization of

50

is

2 \cdot 5^2,

and

2 + 5 + 5 = 12.

What is the range of the function

r,

\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?

el conjunto de los enteros positivos

the set of positive integers

el conjunto de los enteros positivos compuestos

the set of composite positive integers

el conjunto de los enteros positivos pares

the set of even positive integers

el conjunto de los enteros mayores que

3

the set of integers greater than

3

el conjunto de los enteros mayores que

4

the set of integers greater than

4

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos función

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

El menor valor proviene del menor compuesto,

4 = 2 \cdot 2

.

The smallest value comes from the smallest composite,

4 = 2 \cdot 2

Pista grande:

Muestra que todo entero mayor que

3

se alcanza, por ejemplo

r(2^k) = 2k

y

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

Show every integer greater than

3

is attained, e.g.

r(2^k) = 2k

and

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

Solución:

Un número compuesto tiene al menos dos factores primos (con multiplicidad), y el menor primo es

2,

así que el menor valor posible es

2 + 2 = 4.

Todo entero mayor que

3

se alcanza:

r(2^k) = 2k

cubre los valores pares

\ge 4,

y

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

cubre los valores impares

\ge 5.

Así el rango son los enteros mayores que

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A composite number has at least two prime factors (with multiplicity), and the smallest prime is

2,

so the least possible value is

2 + 2 = 4.

Every integer greater than

3

is attained:

r(2^k) = 2k

covers the even values

\ge 4,

and

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

covers the odd values

\ge 5.

So the range is the integers greater than

3.

Thus, the correct answer is D.