2015 AMC 12A Problema 18

Question

Los ceros de la función

f(x) = x^2 - ax + 2a

son enteros. ¿Cuál es la suma de los posibles valores de

a

?

The zeros of the function

f(x) = x^2 - ax + 2a

are integers. What is the sum of the possible values of

a?

7

8

16

17

18

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si las raíces enteras son

p,q

entonces

p+q = a

y

pq = 2a

.

If the integer roots are

p,q

then

p+q = a

and

pq = 2a

Pista grande:

Elimina

a

para obtener

pq = 2(p+q),

es decir

(p-2)(q-2) = 4

Eliminate

a

to get

pq = 2(p+q),

i.e.

(p-2)(q-2) = 4

Solución:

Sean los ceros enteros

p

y

q.

Por las fórmulas de Vieta

p + q = a

y

pq = 2a,

así que

pq = 2(p+q).

Reordenando se obtiene

(p-2)(q-2) = 4.

Los pares de factores enteros de

4

son

(1,4),

(2,2),

(4,1),

(-1,-4),

(-2,-2),

(-4,-1),

que dan pares

(p,q)

cuyas sumas son

a = 9, 8, -1,

y

0.

Los distintos valores posibles de

a

son

9, 8, 0, -1,

cuya suma es

16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zeros be

p

and

q.

By Vieta’s formulas

p + q = a

and

pq = 2a,

so

pq = 2(p+q).

Rearranging gives

(p-2)(q-2) = 4.

The integer factor pairs of

4

are

(1,4),

(2,2),

(4,1),

(-1,-4),

(-2,-2),

(-4,-1),

which yield

(p,q)

pairs summing to

a = 9, 8, -1,

and

0.

The distinct possible values of

a

are

9, 8, 0, -1,

whose sum is

16.

Thus, the correct answer is C.