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2013 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Para 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, los puntos P=(cos⁡x,cos⁡2x),P = (\cos x, \cos^2 x), Q=(cot⁡x,cot⁡2x),Q = (\cot x, \cot^2 x), R=(sin⁡x,sin⁡2x),R = (\sin x, \sin^2 x), y S=(tan⁡x,tan⁡2x)S = (\tan x, \tan^2 x) son los vértices de un trapecio. ¿Cuánto vale sin⁡(2x)\sin(2x)?
For 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, points P=(cos⁡x,cos⁡2x),P = (\cos x, \cos^2 x), Q=(cot⁡x,cot⁡2x),Q = (\cot x, \cot^2 x), R=(sin⁡x,sin⁡2x),R = (\sin x, \sin^2 x), and S=(tan⁡x,tan⁡2x)S = (\tan x, \tan^2 x) are the vertices of a trapezoid. What is sin⁡(2x)?\sin(2x)?
2−222 - 2\sqrt2
33−63\sqrt3 - 6
32−53\sqrt2 - 5
−34-\dfrac{3}{4}
1−31 - \sqrt3
Respuesta: A
Conceptos:parábolaidentidad trigonométricatrapecio
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Los cuatro puntos están en la parábola y=t2;y = t^2; la pendiente de la cuerda que une los parámetros t1t_1 y t2t_2 es t1+t2t_1 + t_2.
All four points lie on the parabola y=t2;y = t^2; the slope of the chord joining parameters t1t_1 and t2t_2 is t1+t2t_1 + t_2
Pista grande:
En este rango los lados paralelos deben ser QRQR y PS,PS, así que cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x\cot x + \sin x = \tan x + \cos x.
On this range the parallel sides must be QRQR and PS,PS, so cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x\cot x + \sin x = \tan x + \cos x
Solución:
Cada punto (t,t2)(t, t^2) está en y=t2,y = t^2, y la cuerda que pasa por los parámetros t1,t2t_1, t_2 tiene pendiente t1+t2.t_1 + t_2. Para 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, tanto cos⁡x\cos x como tan⁡x\tan x están entre cot⁡x\cot x y sin⁡x,\sin x, así que PP y SS quedan entre QQ y RR y los lados paralelos son QRQR y PS.PS. La igualdad de pendientes da cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x.\cot x + \sin x = \tan x + \cos x. Multiplicando por sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x y simplificando se obtiene cos⁡x+sin⁡x−sin⁡xcos⁡x=0.\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0. Elevando al cuadrado y usando 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x se obtiene 1+sin⁡2x=14sin⁡22x,1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x, cuya única raíz en (−1,1)(-1, 1) es sin⁡2x=2−22.\sin 2x = 2 - 2\sqrt2. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Each point (t,t2)(t, t^2) lies on y=t2,y = t^2, and the chord through parameters t1,t2t_1, t_2 has slope t1+t2.t_1 + t_2. For 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, both cos⁡x\cos x and tan⁡x\tan x lie between cot⁡x\cot x and sin⁡x,\sin x, so PP and SS sit between QQ and RR and the parallel sides are QRQR and PS.PS. Equal slopes give cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x.\cot x + \sin x = \tan x + \cos x. Multiplying by sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x and simplifying yields cos⁡x+sin⁡x−sin⁡xcos⁡x=0.\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0. Squaring and using 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x gives 1+sin⁡2x=14sin⁡22x,1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x, whose only root in (−1,1)(-1, 1) is sin⁡2x=2−22.\sin 2x = 2 - 2\sqrt2. Thus, the correct answer is A.

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