2013 AMC 12A Problema 21

Question

Considera

\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}

¿Cuál de los siguientes intervalos contiene a

A

?

Consider

\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}

Which of the following intervals contains

A?

(\log 2016, \log 2017)

(\log 2017, \log 2018)

(\log 2018, \log 2019)

(\log 2019, \log 2020)

(\log 2020, \log 2021)

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite inducción

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Rastrea dónde se sitúa el valor anidado:

0 \lt A_n \lt 1

para

n

pequeño, luego

1 \lt A_n \lt 2,

etc.

Track where the nested value sits:

0 \lt A_n \lt 1

for small

n,

then

1 \lt A_n \lt 2,

etc.

Pista grande:

Para

n = 2012

el valor satisface

3 \lt A_{2012} \lt 4,

así que estima

2013 + A_{2012}

.

For

n = 2012

the value satisfies

3 \lt A_{2012} \lt 4,

so estimate

2013 + A_{2012}

Solución:

Sea

\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).

Se comprueba que

0 \lt A_n \lt 1

para

2 \le n \le 9,

luego

1 \lt A_n \lt 2

para

10 \le n \le 98,

luego

2 \lt A_n \lt 3

para

99 \le n \le 997,

y

3 \lt A_n \lt 4

para

998 \le n \le 9996.

Por consiguiente

3 \lt A_{2012} \lt 4,

así que

2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017

y en consecuencia

\log 2016 \lt A \lt \log 2017.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).

One checks

0 \lt A_n \lt 1

for

2 \le n \le 9,

then

1 \lt A_n \lt 2

for

10 \le n \le 98,

then

2 \lt A_n \lt 3

for

99 \le n \le 997,

and

3 \lt A_n \lt 4

for

998 \le n \le 9996.

Hence

3 \lt A_{2012} \lt 4,

so

2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017

and therefore

\log 2016 \lt A \lt \log 2017.

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años