2013 AMC 12A Problema 20

Question

Sea

S

el conjunto

\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.

Para

a,

b \in S,

define

a \succ b

para indicar que

0 \lt a - b \le 9

o

b - a \gt 9.

¿Cuántas ternas ordenadas

(x, y, z)

de elementos de

S

tienen la propiedad de que

x \succ y,

y \succ z,

y

z \succ x

?

Let

S

be the set

\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.

For

a,

b \in S,

define

a \succ b

to mean that either

0 \lt a - b \le 9

or

b - a \gt 9.

How many ordered triples

(x, y, z)

of elements of

S

have the property that

x \succ y,

y \succ z,

and

z \succ x?

810

855

900

950

988

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular conteo básico

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Trabaja módulo

19;

entonces

a \succ b

significa

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9

Work modulo

19;

then

a \succ b

means

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9

Pista grande:

Fija

x

(

19

formas); sea

y = x + i

con

1 \le i \le 9,

entonces

z

tiene

i

opciones

Fix

x

(

19

ways); let

y = x + i

with

1 \le i \le 9,

then

z

has

i

options

Solución:

Leyendo los elementos módulo

19,

la relación

a \succ b

se cumple exactamente cuando

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.

Hay

19

opciones para

x.

Una vez fijado

x

, toma

y = x + i

para algún

1 \le i \le 9.

Entonces

z

debe satisfacer

x + 10 \le z \le x + 9 + i,

lo que da

i

opciones.

El total es

19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45

= 855.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the elements modulo

19,

the relation

a \succ b

holds exactly when

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.

There are

19

choices for

x.

Once

x

is fixed, take

y = x + i

for some

1 \le i \le 9.

Then

z

must satisfy

x + 10 \le z \le x + 9 + i,

giving

i

choices.

The total is

19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45

= 855.

Thus, the correct answer is B.