Question

La media aritmética de dos enteros positivos distintos $x$ y $y$ es un entero de dos dígitos. La media geométrica de $x$ y $y$ se obtiene invirtiendo las cifras de la media aritmética. ¿Cuánto vale $|x-y|$ ?

The arithmetic mean of two distinct positive integers $x$ and $y$ is a two-digit integer. The geometric mean of $x$ and $y$ is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is $|x-y|?$

$24$

$48$

$54$

$66$

$70$

Respuesta: D

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto dígitos

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Sea la media aritmética $10a+b$ y la media geométrica $10b+a.$ Entonces $x+y=2(10a+b)$ y $xy=(10b+a)^2.$

Por tanto, $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Como la media aritmética es mayor que la geométrica para números positivos distintos, $a>b.$ Sean $u=a-b$ y $v=a+b.$ Entonces $1\le u\le9$ y $1\le v\le17.$ Para que $11uv$ sea un cuadrado, $uv$ debe contener una potencia impar de $11.$ Por tanto, $v=11,$ pues $u<11$ y $v<22.$ Ahora $11uv=121u$ es un cuadrado, así que $u$ es un cuadrado. Además, $u$ y $v$ tienen la misma paridad, lo que deja $u=1$ o $9.$ La segunda opción da $a=10,$ que no es un dígito; por ello, $u=1$ y $(a,b)=(6,5).$

Entonces $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ así que $|x-y|=66.$ (En efecto, $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the arithmetic mean be $10a+b$ and the geometric mean be $10b+a.$ Then $x+y=2(10a+b)$ and $xy=(10b+a)^2.$

Therefore $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Since the arithmetic mean exceeds the geometric mean for distinct positive numbers, $a>b.$ Put $u=a-b$ and $v=a+b.$ Then $1\le u\le9$ and $1\le v\le17.$ For $11uv$ to be a square, $uv$ must contain an odd power of $11.$ Therefore $v=11,$ because $u<11$ and $v<22.$ Now $11uv=121u$ is a square, so $u$ is a square. Also $u$ and $v$ have the same parity, leaving $u=1$ or $9.$ The latter gives $a=10,$ not a digit, so $u=1$ and $(a,b)=(6,5).$

Then $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ so $|x-y|=66.$ (Indeed $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

El Problema 21 en otros años