2011 AMC 12B Problema 21

Question

La media aritmética de dos enteros positivos distintos

x

y

y

es un entero de dos dígitos. La media geométrica de

x

y

y

se obtiene invirtiendo las cifras de la media aritmética. ¿Cuánto vale

|x-y|

?

The arithmetic mean of two distinct positive integers

x

and

y

is a two-digit integer. The geometric mean of

x

and

y

is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is

|x-y|?

24

48

54

66

70

Respuesta: D

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto dígitos

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Escribe la media aritmética como

10a+b

y la media geométrica como

10b+a

.

Write the arithmetic mean as

10a+b

and the geometric mean as

10b+a

Pista grande:

Calcula

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy;

se factoriza como

396(a+b)(a-b)

.

Compute

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy;

it factors as

396(a+b)(a-b)

Solución:

Sea la media aritmética

10a+b

y la media geométrica

10b+a.

Entonces

x+y=2(10a+b)

y

xy=(10b+a)^2.

Por tanto,

\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}

Como la media aritmética es mayor que la geométrica para números positivos distintos,

a>b.

Sean

u=a-b

y

v=a+b.

Entonces

1\le u\le9

y

1\le v\le17.

Para que

11uv

sea un cuadrado,

uv

debe contener una potencia impar de

11.

Por tanto,

v=11,

pues

u<11

y

v<22.

Ahora

11uv=121u

es un cuadrado, así que

u

es un cuadrado. Además,

u

y

v

tienen la misma paridad, lo que deja

u=1

o

9.

La segunda opción da

a=10,

que no es un dígito; por ello,

u=1

y

(a,b)=(6,5).

Entonces

(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,

así que

|x-y|=66.

(En efecto,

\{x,y\}=\{32,98\}.

)

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the arithmetic mean be

10a+b

and the geometric mean be

10b+a.

Then

x+y=2(10a+b)

and

xy=(10b+a)^2.

Therefore

\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}

Since the arithmetic mean exceeds the geometric mean for distinct positive numbers,

a>b.

Put

u=a-b

and

v=a+b.

Then

1\le u\le9

and

1\le v\le17.

For

11uv

to be a square,

uv

must contain an odd power of

11.

Therefore

v=11,

because

u<11

and

v<22.

Now

11uv=121u

is a square, so

u

is a square. Also

u

and

v

have the same parity, leaving

u=1

or

9.

The latter gives

a=10,

not a digit, so

u=1

and

(a,b)=(6,5).

Then

(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,

so

|x-y|=66.

(Indeed

\{x,y\}=\{32,98\}.

)

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años