2011 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2011 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sea

f(x) = ax^2 + bx + c,

donde

a,

b,

y

c

son enteros. Supongamos que

f(1) = 0,

50 \lt f(7) \lt 60,

70 \lt f(8) \lt 80,

y

5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)

para algún entero

k.

¿Cuánto vale

k

?

Let

f(x) = ax^2 + bx + c,

where

a,

b,

and

c

are integers. Suppose that

f(1) = 0,

50 \lt f(7) \lt 60,

70 \lt f(8) \lt 80,

and

5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)

for some integer

k.

What is

k?

1

2

3

4

5

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

De

f(1) = 0,

c = -a - b,

así que

f(7) = 6(8a + b)

y

f(8) = 7(9a + b)

From

f(1) = 0,

c = -a - b,

so

f(7) = 6(8a + b)

and

f(8) = 7(9a + b)

Pista grande:

Las cotas obligan a

8a + b = 9

y

9a + b = 11

The bounds force

8a + b = 9

and

9a + b = 11

Solución:

Como

f(1) = a + b + c = 0,

tenemos

c = -a - b.

Entonces

f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),

f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).

De

50 \lt 6(8a + b) \lt 60

obtenemos

8a + b = 9,

y de

70 \lt 7(9a + b) \lt 80

obtenemos

9a + b = 11.

Restando,

a = 2,

luego

b = -7

y

c = 5.

Así que

f(100) = 20000 - 700 + 5

= 19305,

que está en

5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,

lo que da

k = 3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

f(1) = a + b + c = 0,

we have

c = -a - b.

Then

f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),

f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).

From

50 \lt 6(8a + b) \lt 60

we get

8a + b = 9,

and from

70 \lt 7(9a + b) \lt 80

we get

9a + b = 11.

Subtracting,

a = 2,

then

b = -7

and

c = 5.

So

f(100) = 20000 - 700 + 5

= 19305,

which lies in

5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,

giving

k = 3.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 20 en otros años