2009 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2009 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Para

k \gt 0,

sea

I_k = 10\ldots064,

donde hay

k

ceros entre el

1

y el

6.

Sea

N(k)

el número de factores de

2

en la factorización prima de

I_k.

¿Cuál es el valor máximo de

N(k)

?

For

k \gt 0,

let

I_k = 10\ldots064,

where there are

k

zeros between the

1

and the

6.

Let

N(k)

be the number of factors of

2

in the prime factorization of

I_k.

What is the maximum value of

N(k)?

6

7

8

9

10

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe

I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6

.

Write

I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6

Pista grande:

Factoriza la menor potencia de

2;

el mayor conteo ocurre en

k = 4,

donde

5^6 + 1

aporta un factor de

2

adicional.

Factor out the smaller power of

2;

the largest count comes at

k = 4,

where

5^6 + 1

supplies one extra factor of

2

Solución:

Nota que

I_k = 10^{k+2} + 64

= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.

Para

k \lt 4

el primer término tiene menos de

6

factores de

2,

así que

N(k) \lt 6.

Para

k \gt 4

el primer término es divisible por

2^7

pero el término

2^6

no lo es, así que

N(k) \lt 7.

Para

k = 4,

I_4 = 2^6(5^6 + 1).

Como

5^6 + 1

= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)

= 26\cdot 601,

y

26 = 2\cdot 13

aporta exactamente un factor más de

2,

obtenemos

N(4) = 7.

Así que el valor máximo es

7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Note that

I_k = 10^{k+2} + 64

= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.

For

k \lt 4

the first term has fewer than

6

factors of

2,

so

N(k) \lt 6.

For

k \gt 4

the first term is divisible by

2^7

but the

2^6

term is not, so

N(k) \lt 7.

For

k = 4,

I_4 = 2^6(5^6 + 1).

Since

5^6 + 1

= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)

= 26\cdot 601,

and

26 = 2\cdot 13

contributes exactly one more factor of

2,

we get

N(4) = 7.

So the maximum value is

7.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 18 en otros años