2008 AMC 12B Problema 4

Question

En el círculo

O,

los puntos

C

y

D

están en el mismo lado del diámetro

\overline{AB},

\angle AOC = 30^\circ,

y

\angle DOB = 45^\circ.

¿Cuál es la razón entre el área del sector menor

COD

y el área del círculo?

On circle

O,

points

C

and

D

are on the same side of diameter

\overline{AB},

\angle AOC = 30^\circ,

and

\angle DOB = 45^\circ.

What is the ratio of the area of the smaller sector

COD

to the area of the circle?

\dfrac{2}{9}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{5}{18}

\dfrac{7}{24}

\dfrac{3}{10}

\angle AOC,

\angle COD,

y

\angle DOB

juntos forman el ángulo llano sobre

\overline{AB}

.

\angle AOC,

\angle COD,

and

\angle DOB

together make the straight angle

\overline{AB}

La fracción del círculo que ocupa un sector es su ángulo central dividido entre

360^\circ

.

A sector’s fraction of the circle is its central angle divided by

360^\circ

Como

\angle AOC,

\angle COD,

y

\angle DOB

llenan el ángulo llano sobre el diámetro

\overline{AB},

\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}

La parte del círculo que ocupa el sector es

\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

\angle AOC,

\angle COD,

and

\angle DOB

fill the straight angle over diameter

\overline{AB},

\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}

The sector’s share of the circle is

\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 4 en otros años