2008 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

El triángulo

ABC

tiene

AC = 3,

BC = 4,

y

AB = 5.

El punto

D

está en

AB,

y

CD

biseca el ángulo recto. Los círculos inscritos de

\triangle ADC

y

\triangle BCD

tienen radios

r_a

y

r_b,

respectivamente. ¿Cuánto vale

\frac{r_a}{r_b}

?

Triangle

ABC

has

AC = 3,

BC = 4,

and

AB = 5.

Point

D

is on

AB,

and

CD

bisects the right angle. The inscribed circles of

\triangle ADC

and

\triangle BCD

have radii

r_a

and

r_b,

respectively. What is

\frac{r_a}{r_b}?

\dfrac{1}{28}(10 - \sqrt{2})

\dfrac{3}{56}(10 - \sqrt{2})

\dfrac{1}{14}(10 - \sqrt{2})

\dfrac{5}{56}(10 - \sqrt{2})

\dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2})

Respuesta: E

Conceptos:teorema de la bisectriz circunferencia inscrita, incentro e inradio razón de áreas

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo,

AD:DB = CA:CB = 3:4

.

By the Angle Bisector Theorem,

AD:DB = CA:CB = 3:4

Pista grande:

Para cada triángulo pequeño

r = \frac{\text{área}}{s};

los dos triángulos comparten la base

CD

.

For each small triangle

r = \frac{\text{area}}{s};

the two triangles share the base

CD

Solución:

Por el Teorema de la Bisectriz del Ángulo,

AD:DB = CA:CB = 3:4,

así que

AD = \tfrac{15}{7}

y

BD = \tfrac{20}{7}.

Las áreas de

\triangle ADC

y

\triangle BCD

comparten la base

CD,

así que están en razón

3:4,

a saber

\tfrac{18}{7}

y

\tfrac{24}{7}.

Dividir

\triangle ABC

a lo largo de

CD,

que corta cada cateto a

45^\circ,

da

\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,

así que

CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.

Los dos semiperímetros son

\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}

Usando

r = \frac{\text{área}}{s},

\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}

Racionalizando,

\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},

así que

\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Angle Bisector Theorem,

AD:DB = CA:CB = 3:4,

so

AD = \tfrac{15}{7}

and

BD = \tfrac{20}{7}.

The areas of

\triangle ADC

and

\triangle BCD

share base

CD,

so they are in ratio

3:4,

namely

\tfrac{18}{7}

and

\tfrac{24}{7}.

Splitting

\triangle ABC

along

CD,

which meets each leg at

45^\circ,

gives

\dfrac{3 \cdot CD}{2\sqrt{2}} + \dfrac{4 \cdot CD}{2\sqrt{2}} = 6,

so

CD = \tfrac{12\sqrt{2}}{7}.

The two semiperimeters are

\begin{aligned} s_a &= \dfrac{6}{7}(3 + \sqrt{2}), \\ s_b &= \dfrac{6}{7}(4 + \sqrt{2}). \end{aligned}

Using

r = \frac{\text{area}}{s},

\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{[ADC]}{[BCD]} \cdot \dfrac{s_b}{s_a} \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}, \end{aligned}

Rationalizing,

\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7},

so

\begin{aligned} \dfrac{r_a}{r_b} &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10 - \sqrt{2}}{7} \\ &= \dfrac{3}{28}(10 - \sqrt{2}). \end{aligned}

Thus, E is the correct answer.

El Problema 20 en otros años