2006 AMC 12B Problema 18

Question

Un objeto en el plano se mueve de un punto reticular a otro. En cada paso, el objeto puede moverse una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda, una unidad hacia arriba o una unidad hacia abajo. Si el objeto parte del origen y recorre un camino de diez pasos, ¿cuántos puntos distintos podrían ser el punto final?

An object in the plane moves from one lattice point to another. At each step, the object may move one unit to the right, one unit to the left, one unit up, or one unit down. If the object starts at the origin and takes a ten-step path, how many different points could be the final point?

120

121

221

230

231

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Después de

10

pasos, el punto final

(a, b)

cumple

|a| + |b| \le 10

con

a + b

par.

After

10

steps the endpoint

(a, b)

satisfies

|a| + |b| \le 10

with

a + b

even

Pista grande:

Cuenta los puntos reticulares con suma de coordenadas par dentro del rombo

|a| + |b| \le 10

.

Count lattice points with even coordinate sum inside the diamond

|a| + |b| \le 10

Solución:

Cada paso cambia la suma de coordenadas en

1,

así que después de

10

pasos el punto final

(a, b)

tiene

a + b

par y

|a| + |b| \le 10.

Cualquier punto así es alcanzable: camina

|a| + |b|

pasos hasta él, y luego usa el número par restante de pasos yendo y volviendo.

Los puntos alcanzables están sobre las rectas

a + b = 2k

para

-5 \le k \le 5.

Cada una de estas rectas corta al rombo en exactamente

11

puntos reticulares.

Con

11

rectas y

11

puntos cada una, hay

121

puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each step changes the coordinate sum by

1,

so after

10

steps the endpoint

(a, b)

has

a + b

even, and

|a| + |b| \le 10.

Any such point is reachable: walk

|a| + |b|

steps to it, then use the remaining even number of steps going out and back.

The reachable points lie on the lines

a + b = 2k

for

-5 \le k \le 5.

Each such line meets the diamond in exactly

11

lattice points.

With

11

lines and

11

points each, there are

121

points.

Thus, the correct answer is B.