2006 AMC 12A Problema 20

Question

Un insecto parte de un vértice de un cubo y se mueve a lo largo de las aristas del cubo según la siguiente regla. En cada vértice, el insecto elige recorrer una de las tres aristas que salen de ese vértice. Cada arista tiene la misma probabilidad de ser elegida, y todas las elecciones son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de siete movimientos, el insecto haya visitado cada vértice exactamente una vez?

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

\dfrac{1}{2187}

\dfrac{1}{729}

\dfrac{2}{243}

\dfrac{1}{81}

\dfrac{5}{243}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica teoría de grafos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Hay

3^7

recorridos de

7

movimientos igualmente probables; cuenta los que visitan los

8

vértices.

There are

3^7

equally likely

7

-move walks; count those visiting all

8

vertices

Pista grande:

Hay

3

opciones para el primer movimiento y

2

para el segundo, tras lo cual el camino queda casi forzado.

There are

3

choices for the first move and

2

for the second, after which the path is nearly forced

Solución:

Desde el inicio hay

3^7

recorridos de

7

movimientos igualmente probables. Considera un recorrido que visita los

8

vértices: hay

3

opciones para el primer movimiento y

2

para el segundo, ya que no puede volver al vértice de partida.

Etiqueta los vértices del cubo con cadenas de tres bits. Por simetría, tras fijar esos dos primeros movimientos podemos tomar los primeros tres vértices como

000,001,011.

Una revisión de las ramificaciones da exactamente estas tres continuaciones:

\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010. \end{aligned}

Por lo tanto hay

3 \cdot 2 \cdot 3 = 18

recorridos de este tipo.

La probabilidad es

\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the start there are

3^7

equally likely

7

-move walks. For a walk visiting all

8

vertices, there are

3

choices for the first move and

2

for the second, since it cannot return to the starting vertex.

Label cube vertices by three-bit strings. By symmetry, after fixing those first two moves we may take the first three vertices to be

000,001,011.

A branch check gives exactly these three completions:

\begin{aligned} &010,110,111,101,100,\\ &010,110,100,101,111,\\ &111,101,100,110,010. \end{aligned}

Thus there are

3 \cdot 2 \cdot 3 = 18

such walks.

The probability is

\dfrac{18}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243}.

Thus, the correct answer is C.