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2005 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2005 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sean a,b,c,d,e,f,ga, b, c, d, e, f, g y hh elementos distintos del conjunto ¿Cuál es el valor mínimo posible de {−7,−5,−3,−2,2,4,6,13}. \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}. (a+b+c+d)2+(e+f+g+h)2? \begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}

Let a,b,c,d,e,f,ga, b, c, d, e, f, g and hh be distinct elements in the set {−7,−5,−3,−2,2,4,6,13}. \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}. What is the minimum possible value of (a+b+c+d)2+(e+f+g+h)2? \begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}

3030

3232

3434

4040

5050

Respuesta: C
Conceptos:optimizacióncompletar el cuadrado
Nivel de dificultad: 1910
Solución:

Los elementos suman 8.8. Si a+b+c+d=x,a + b + c + d = x, entonces e+f+g+h=8−x,e + f + g + h = 8 - x, así que x2+(8−x)2=2(x−4)2+32. x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.

Esto se minimiza cuando x=4,x = 4, dando 32.32. Pero 1313 debe estar en un grupo, y ningún trío de los elementos restantes suma con 1313 para dar 44 (eso requeriría que sumara −9-9). Si se usa −7,-7, los otros dos deberían sumar −2,-2, y ninguna pareja disponible lo hace; sin −7,-7, reemplazar cualquier término de −5−3−2=−10-5-3-2=-10 eleva la suma por encima de −9.-9. Así, x=4x = 4 es inalcanzable y (x−4)2≥1.(x - 4)^2 \ge 1.

El mínimo es 2(1)+32=34,2(1) + 32 = 34, alcanzado, por ejemplo, por {−7,−5,2,13}\{-7, -5, 2, 13\} (suma 33) y {−3,−2,4,6}\{-3, -2, 4, 6\} (suma 55).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The elements sum to 8.8. If a+b+c+d=x,a + b + c + d = x, then e+f+g+h=8−x,e + f + g + h = 8 - x, so x2+(8−x)2=2(x−4)2+32. x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.

This is minimized when x=4,x = 4, giving 32.32. But 1313 must lie in one group, and no three of the remaining elements add with 1313 to make 44 (that would need three of them to sum to −9-9). With −7,-7, the other two would need to sum to −2,-2, which no available pair does; without −7,-7, replacing any term in −5−3−2=−10-5-3-2=-10 raises the sum past −9.-9. So x=4x = 4 is unattainable and (x−4)2≥1.(x - 4)^2 \ge 1.

The minimum is 2(1)+32=34,2(1) + 32 = 34, achieved for instance by {−7,−5,2,13}\{-7, -5, 2, 13\} (sum 33) and {−3,−2,4,6}\{-3, -2, 4, 6\} (sum 55).

Thus, the correct answer is C.

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