2005 AMC 12B Problema 20

Question

Sean

a,

b,

c,

d,

e,

f,

g

y

h

elementos distintos del conjunto

\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.

¿Cuál es el valor mínimo posible de

\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}

Let

a,

b,

c,

d,

e,

f,

g

and

h

be distinct elements in the set

\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.

What is the minimum possible value of

\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}

30

32

34

40

50

Respuesta: C

Conceptos:optimización completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Todo el conjunto suma

8,

así que si un grupo suma

x,

el otro suma

8 - x

.

The whole set sums to

8,

so if one group sums to

x,

the other sums to

8 - x

Pista grande:

x^2 + (8-x)^2 = 2(x-4)^2 + 32

; comprueba si

x = 4

es realmente alcanzable.

x^2 + (8-x)^2 = 2(x-4)^2 + 32

; check whether

x = 4

is actually attainable

Solución:

Los elementos suman

8.

Si

a + b + c + d = x,

entonces

e + f + g + h = 8 - x,

así que

x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.

Esto se minimiza cuando

x = 4,

dando

32.

Pero

13

debe estar en un grupo, y ningún trío de los elementos restantes suma con

13

para dar

4

(eso exigiría que tres de ellos sumaran

-9

). Si se usa

-7,

los otros dos deberían sumar

-2,

y ninguna pareja disponible lo hace; sin

-7,

reemplazar cualquier término de

-5-3-2=-10

eleva la suma por encima de

-9.

Así,

x = 4

es inalcanzable y

(x - 4)^2 \ge 1.

El mínimo es

2(1) + 32 = 34,

alcanzado, por ejemplo, por

\{-7, -5, 2, 13\}

(suma

3

) y

\{-3, -2, 4, 6\}

(suma

5

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The elements sum to

8.

If

a + b + c + d = x,

then

e + f + g + h = 8 - x,

so

x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.

This is minimized when

x = 4,

giving

32.

But

13

must lie in one group, and no three of the remaining elements add with

13

to make

4

(that would need three of them to sum to

-9

). With

-7,

the other two would need to sum to

-2,

which no available pair does; without

-7,

replacing any term in

-5-3-2=-10

raises the sum past

-9.

So

x = 4

is unattainable and

(x - 4)^2 \ge 1.

The minimum is

2(1) + 32 = 34,

achieved for instance by

\{-7, -5, 2, 13\}

(sum

3

) and

\{-3, -2, 4, 6\}