2005 AMC 12B Problema 18

Question

Sean

A(2, 2)

y

B(7, 7)

puntos en el plano. Define

R

como la región del primer cuadrante formada por aquellos puntos

C

tales que

\triangle ABC

es un triángulo acutángulo. ¿Cuál es el entero más cercano al área de la región

R

?

Let

A(2, 2)

and

B(7, 7)

be points in the plane. Define

R

as the region in the first quadrant consisting of those points

C

such that

\triangle ABC

is an acute triangle. What is the closest integer to the area of the region

R?

25

39

51

60

80

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Que el ángulo

A

sea agudo significa que

C

está del lado lejano de la recta que pasa por

A

perpendicular a

AB

; análogamente para

B

.

Angle

A

acute means

C

is on the far side of the line through

A

perpendicular to

AB

; similarly for

B

Pista grande:

Que el ángulo

C

sea agudo significa que

C

está fuera del círculo de diámetro

AB

; combina las tres regiones.

Angle

C

acute means

C

lies outside the circle with diameter

AB

; combine three regions

Solución:

La recta

AB

tiene pendiente

1.

Para que

\angle A

sea agudo,

C

debe estar más allá de la recta que pasa por

A

perpendicular a

AB;

en el primer cuadrante esa recta va entre

P(4, 0)

y

Q(0, 4).

Para que

\angle B

sea agudo,

C

debe estar antes de la recta que pasa por

B

perpendicular a

AB,

entre

S(14, 0)

y

T(0, 14).

Para que

\angle C

sea agudo,

C

debe estar fuera del círculo

U

de diámetro

AB,

cuyo radio es

\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.

El círculo está enteramente dentro de esa franja y en el primer cuadrante. Así, la región es el gran triángulo rectángulo

OST

menos el pequeño triángulo rectángulo

OPQ

y el círculo completo

U:

\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Line

AB

has slope

1.

For

\angle A

to be acute,

C

must lie beyond the line through

A

perpendicular to

AB;

in the first quadrant that line runs between

P(4, 0)

and

Q(0, 4).

For

\angle B

to be acute,

C

must lie before the line through

B

perpendicular to

AB,

between

S(14, 0)

and

T(0, 14).

For

\angle C

to be acute,

C

must lie outside the circle

U

with diameter

AB,

whose radius is

\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.

The circle lies entirely inside this strip and in the first quadrant. Thus the region is the large right triangle

OST

minus the small right triangle

OPQ

and the full circle

U:

\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años