2005 AMC 12A Problema 21

Question

¿Cuántas ternas ordenadas de enteros

(a, b, c),

con

a \ge 2,

b \ge 1,

y

c \ge 0,

satisfacen a la vez

\log_a b = c^{2005}

y

a + b + c = 2005

?

How many ordered triples of integers

(a, b, c),

with

a \ge 2,

b \ge 1,

and

c \ge 0,

satisfy both

\log_a b = c^{2005}

and

a + b + c = 2005?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Reescribe la primera condición como

b = a^{\left(c^{2005}\right)}

.

Rewrite the first condition as

b = a^{\left(c^{2005}\right)}

Pista grande:

Si

c \ge 2,

entonces

b

es astronómicamente mayor que

2005;

solo

c = 0

y

c = 1

pueden funcionar.

If

c \ge 2,

then

b

is astronomically larger than

2005;

only

c = 0

and

c = 1

can work

Solución:

La condición

\log_a b = c^{2005}

significa

b = a^{\left(c^{2005}\right)}.

Si

c \ge 2,

entonces

b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},

lo que supera enormemente a

2005,

así que

a + b + c = 2005

es imposible.

Para

c = 0:

b = a^0 = 1,

así que

a + 1 + 0 = 2005

da

(a, b, c) = (2004, 1, 0).

Para

c = 1:

b = a^1 = a,

así que

2a + 1 = 2005

da

(a, b, c) = (1002, 1002, 1).

Hay

2

ternas así.

Así, la respuesta correcta es C.

The condition

\log_a b = c^{2005}

means

b = a^{\left(c^{2005}\right)}.

If

c \ge 2,

then

b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},

which vastly exceeds

2005,

so

a + b + c = 2005

is impossible.

For

c = 0:

b = a^0 = 1,

so

a + 1 + 0 = 2005

gives

(a, b, c) = (2004, 1, 0).

For

c = 1:

b = a^1 = a,

so

2a + 1 = 2005

gives

(a, b, c) = (1002, 1002, 1).

There are

2

such triples.

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años