2005 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2005 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Para cada

x

en

[0, 1],

define

f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}

Sea

f^{[2]}(x) = f(f(x)),

y

f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))

para cada entero

n \ge 2.

¿Para cuántos valores de

x

en

[0, 1]

se cumple

f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}

?

For each

x

in

[0, 1],

define

f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}

Let

f^{[2]}(x) = f(f(x)),

and

f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))

for each integer

n \ge 2.

For how many values of

x

in

[0, 1]

is

f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?

0

2005

4010

2005^2

2^{2005}

Respuesta: E

Conceptos:función recursión

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Sea

g(n)

el número de soluciones de

f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2};

halla una recursión para

g(n)

.

Let

g(n)

be the number of solutions of

f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2};

find a recursion for

g(n)

Pista grande:

Como

f

aplica cada uno de

[0, \tfrac12]

y

[\tfrac12, 1]

sobre todo

[0, 1],

cada solución se divide en dos, lo que da

g(n) = 2\,g(n-1)

.

Because

f

maps each of

[0, \tfrac12]

and

[\tfrac12, 1]

onto all of

[0, 1],

each solution splits into two, giving

g(n) = 2\,g(n-1)

Solución:

Sea

g(n)

el número de soluciones de

f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}

en

[0, 1].

Como

f

aplica cada una de las dos mitades

[0, \tfrac12]

y

[\tfrac12, 1]

sobre todo

[0, 1],

cada solución de

f^{[n-1]}(y) = \tfrac12

proviene de dos valores de

x

(uno en cada mitad).

El valor de frontera

x = \tfrac12

satisface

f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12,

así que no se pierde ninguna solución, lo que da

g(n) = 2\,g(n-1).

Como

g(1) = 2,

concluimos que

g(2005) = 2^{2005}.

Así, la respuesta correcta es E.

Let

g(n)

count the solutions of

f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}

in

[0, 1].

Since

f

maps each of the two halves

[0, \tfrac12]

and

[\tfrac12, 1]

onto all of

[0, 1],

every solution of

f^{[n-1]}(y) = \tfrac12

comes from two values of

x

(one in each half).

The boundary value

x = \tfrac12

satisfies

f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12,

so no solutions are lost, giving

g(n) = 2\,g(n-1).

Since

g(1) = 2,

we conclude

g(2005) = 2^{2005}.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 20 en otros años