2005 AMC 12A Problema 18

Question

Llamamos a un número «de apariencia prima» si es compuesto pero no divisible por

2,

3,

o

5.

Los tres números de apariencia prima más pequeños son

49,

77,

y

91.

Hay

168

números primos menores que

1000.

¿Cuántos números de apariencia prima hay menores que

1000

?

Call a number “prime-looking” if it is composite but not divisible by

2,

3,

or

5.

The three smallest prime-looking numbers are

49,

77,

and

91.

There are

168

prime numbers less than

1000.

How many prime-looking numbers are there less than

1000?

100

102

104

106

108

Respuesta: A

Conceptos:inclusión-exclusión primo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Usa inclusión-exclusión para contar los números menores que

1000

divisibles por

2, 3,

o

5

.

Use inclusion-exclusion to count the numbers below

1000

divisible by

2, 3,

or

5

Pista grande:

De los números coprimos con

2, 3, 5,

quita los primos y el número

1

.

From the numbers coprime to

2, 3, 5,

remove the primes and the number

1

Solución:

Entre los

999

números del

1

al

999,

la inclusión-exclusión da

\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}

que son divisibles por

2, 3,

o

5.

Eso deja

999 - 733 = 266

números coprimos con

2, 3, 5.

De estos,

165

son primos (los

168

primos menos

2, 3, 5

), y

1

no es ni primo ni compuesto.

Los

266 - 165 - 1 = 100

números restantes son de apariencia prima.

Así, la respuesta correcta es A.

Among the

999

numbers from

1

to

999,

inclusion-exclusion gives

\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}

that are divisible by

2, 3,

or

5.

That leaves

999 - 733 = 266

numbers coprime to

2, 3, 5.

Of these,

165

are primes (the

168

primes minus

2, 3, 5

), and

1

is neither prime nor composite.

The remaining

266 - 165 - 1 = 100

numbers are prime-looking.

Thus, the correct answer is A.