2004 AMC 12B Problema 18

Question

Los puntos

A

y

B

están en la parábola

y = 4x^2 + 7x - 1,

y el origen es el punto medio de

\overline{AB}.

¿Cuál es la longitud de

AB

?

Points

A

and

B

are on the parabola

y = 4x^2 + 7x - 1,

and the origin is the midpoint of

\overline{AB}.

What is the length of

AB?

2\sqrt{5}

5 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}

5 + \sqrt{2}

7

5\sqrt{2}

Respuesta: E

Conceptos:parábola punto medio fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Si

B = (a, b),

entonces

A = (-a, -b)

.

If

B = (a, b),

then

A = (-a, -b)

Pista grande:

Sustituye ambos puntos en la parábola y resta las ecuaciones.

Substitute both points into the parabola and subtract the equations

Solución:

Sea

B = (a, b)

y

A = (-a, -b).

Entonces

4a^2 + 7a - 1 = b

y

4a^2 - 7a - 1 = -b.

Restando se obtiene

14a = 2b,

así que

b = 7a.

Luego

4a^2 + 7a - 1 = 7a

da

a^2 = \dfrac14,

y

b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.

Así

AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}

= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

B = (a, b)

and

A = (-a, -b).

Then

4a^2 + 7a - 1 = b

and

4a^2 - 7a - 1 = -b.

Subtracting gives

14a = 2b,

so

b = 7a.