2004 AMC 12A Problema 21

Question

Si

\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5,

¿cuál es el valor de

\cos 2\theta

?

If

\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5,

what is the value of

\cos 2\theta?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{\sqrt{5}}{5}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{4}{5}

La serie es geométrica con razón

\cos^2 \theta

.

The series is geometric with ratio

\cos^2 \theta

Suma para obtener

\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5,

luego usa

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

.

Sum to get

\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5,

then use

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

La serie es geométrica con primer término

1

y razón

\cos^2 \theta,

así que su suma es

\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5.

Así que

\sin^2 \theta = \tfrac15,

y

\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The series is geometric with first term

1

and ratio

\cos^2 \theta,

so its sum is

\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5.

Thus

\sin^2 \theta = \tfrac15,

and

\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

El Problema 21 en otros años