2003 AMC 12A Problema 18

Question

Sea

n

un número de

5

cifras, y sean

q

y

r

el cociente y el residuo, respectivamente, cuando

n

se divide entre

100.

¿Para cuántos valores de

n

es

q + r

divisible entre

11

?

Let

n

be a

5

-digit number, and let

q

and

r

be the quotient and remainder, respectively, when

n

is divided by

100.

For how many values of

n

is

q + r

divisible by

11?

8180

8181

8182

9000

9090

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular múltiplo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Observa que

n=100q+r=(q+r)+99q

.

n=100q+r=(q+r)+99q

Pista grande:

Como

99

es múltiplo de

11,

q+r\equiv n\pmod{11}

.

Since

99

is a multiple of

11,

q+r\equiv n\pmod{11}

Solución:

Como

n=100q+r=(q+r)+99q

y

99

es divisible entre

11,

tenemos

q+r\equiv n\pmod{11}.

Así que

(q+r)

es múltiplo de

11

exactamente cuando

n

es múltiplo de

11.

Entre los números de

5

cifras, la cantidad de múltiplos de

11

es

\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor

-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor

=9090-909=8181.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

n=100q+r=(q+r)+99q

and

99

is divisible by

11,

we have

q+r\equiv n\pmod{11}.

So

(q+r)

is a multiple of

11

exactly when

n

is a multiple of

11.

Among the

5

-digit numbers, the count of multiples of

11

is

\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor

-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor

=9090-909=8181.

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años