2002 AMC 12B Problema 18

Question

Se elige al azar un punto

P

de la región rectangular con vértices

(0,0),

(2,0),

(2,1),

(0,1).

¿Cuál es la probabilidad de que

P

esté más cerca del origen que del punto

(3,1)

?

A point

P

is randomly selected from the rectangular region with vertices

(0,0),

(2,0),

(2,1),

(0,1).

What is the probability that

P

is closer to the origin than it is to the point

(3,1)?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{5}

1

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica mediatriz trapecio

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

P

está más cerca del origen a un lado de la mediatriz del segmento que va de

(0,0)

a

(3,1)

.

P

is closer to the origin on one side of the perpendicular bisector of the segment from

(0,0)

to

(3,1)

Pista grande:

Esa mediatriz es la recta

3x+y=5

; halla el área del rectángulo del lado del origen y divide entre el área total.

That bisector is the line

3x+y=5

; find the area of the rectangle on the origin side and divide by the total area

Solución:

Los puntos más cercanos a

(0,0)

que a

(3,1)

están del lado del origen de la mediatriz de ese segmento, la recta

3x+y=5.

Dentro del rectángulo, esta región es un trapecio cuyos lados paralelos tienen longitudes

\dfrac53

(en

y=0

) y

\dfrac43

(en

y=1

), así que su área es

\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.

El rectángulo tiene área

2,

así que la probabilidad es

\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The points closer to

(0,0)

than to

(3,1)

lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line

3x+y=5.

Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths

\dfrac53

(at

y=0

) and

\dfrac43

(at

y=1

), so its area is

\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.

The rectangle has area

2,

so the probability is

\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.

Thus, the correct answer is C.