2002 AMC 12A Problema 18

Question

Sean

C_1

y

C_2

los círculos definidos por

(x - 10)^2 + y^2 = 36

y

(x + 15)^2 + y^2 = 81,

respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto

\overline{PQ}

que es tangente a

C_1

en

P

y a

C_2

en

Q

?

Let

C_1

and

C_2

be circles defined by

(x - 10)^2 + y^2 = 36

and

(x + 15)^2 + y^2 = 81,

respectively. What is the length of the shortest line segment

\overline{PQ}

that is tangent to

C_1

at

P

and to

C_2

at

Q?

15

18

20

21

24

Respuesta: C

Conceptos:recta tangente semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El segmento más corto de este tipo es la tangente interior; cruza

\overline{AB}

entre los centros.

The shortest such segment is the internal tangent; it crosses

\overline{AB}

between the centers

Pista grande:

El punto de cruce divide

\overline{AB}

en la razón de los radios

6 : 9;

use triángulos rectángulos semejantes.

The crossing point divides

\overline{AB}

in the ratio of the radii

6 : 9;

use similar right triangles

Solución:

Los centros son

A = (10, 0)

y

B = (-15, 0),

con radios

6

y

9,

así que

AB = 25.

La tangente más corta es la interior, que corta

\overline{AB}

en un punto

D

que lo divide en la razón

6 : 9,

dando

D = (0, 0).

Los triángulos rectángulos

APD

y

BQD

son semejantes con razón

2 : 3.

Entonces

PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8

y

QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,

así que

PQ = 8 + 12 = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers are

A = (10, 0)

and

B = (-15, 0),

with radii

6

and

9,

so

AB = 25.

The shortest tangent is the internal one, meeting

\overline{AB}

at a point

D

that splits it in the ratio

6 : 9,

giving

D = (0, 0).

The right triangles

APD

and

BQD

are similar with ratio

2 : 3.

Then

PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8

and

QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,

so

PQ = 8 + 12 = 20.

Thus, the correct answer is C.