2001 AMC 12 Problema 21

Question

Cuatro enteros positivos

a,

b,

c,

y

d

tienen un producto de

8!

y satisfacen

ab + a + b = 524,

bc + b + c = 146,

cd + c + d = 104.

¿Cuánto vale

a - d

?

Four positive integers

a,

b,

c,

and

d

have a product of

8!

and satisfy

ab + a + b = 524,

bc + b + c = 146,

cd + c + d = 104.

What is

a - d?

4

6

8

10

12

Respuesta: D

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon divisibilidad sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Suma

1

a cada ecuación para que el lado izquierdo se factorice:

(a + 1)(b + 1) = 525,

y así sucesivamente

Add

1

to each equation so the left side factors:

(a + 1)(b + 1) = 525,

and so on

Pista grande:

525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7

tiene un factor de

25

pero

(b+1)(c+1) = 147

no, así que

a + 1

es un múltiplo de

25

525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7

has a factor of

25

but

(b+1)(c+1) = 147

does not, so

a + 1

is a multiple of

25

Solución:

Sumar

1

a cada ecuación factoriza los lados izquierdos:

\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}

Como

525

tiene un factor de

25

mientras que

147

no es divisible entre

5,

el factor

a + 1

debe llevar el

25.

Entre los divisores de

525,

solo

a + 1 = 25

hace que

a = 24

divida a

8! = 40320.

Entonces

b + 1 = 21,

c + 1 = 7,

y

d + 1 = 15,

dando

b = 20,

c = 6,

d = 14.

(En efecto,

24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.

)

Así que

a - d = 24 - 14 = 10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding

1

to each equation factors the left sides:

\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}

Since

525

has a factor of

25

while

147

is not divisible by

5,

the factor

a + 1

must carry the

25.

Among divisors of

525,

only

a + 1 = 25

makes

a = 24

divide

8! = 40320.

Then

b + 1 = 21,

c + 1 = 7,

and

d + 1 = 15,

giving

b = 20,

c = 6,

d = 14.

(Indeed

24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.

)

So

a - d = 24 - 14 = 10.

Thus, the correct answer is D.