1999 AMC 12 Problema 21

Question

Se circunscribe un círculo a un triángulo con lados

20,

21,

y

29,

dividiendo así el interior del círculo en cuatro regiones. Sean

A,

B,

y

C

las áreas de las regiones no triangulares, siendo

C

la mayor. Entonces

A circle is circumscribed about a triangle with sides

20,

21,

and

29,

thus dividing the interior of the circle into four regions. Let

A,

B,

and

C

be the areas of the non-triangular regions, with

C

being the largest. Then

A + B = C

A + B + 210 = C

A^2 + B^2 = C^2

20A + 21B = 29C

\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Comprueba si

20, 21, 29

forman un triángulo rectángulo.

Check whether

20, 21, 29

form a right triangle

Pista grande:

La hipotenusa es un diámetro, así que la mayor región

C

es un semicírculo.

The hypotenuse is a diameter, so the largest region

C

is a semicircle

Solución:

Como

20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,

el triángulo es rectángulo, y su hipotenusa de longitud

29

es un diámetro del círculo. Así, la mayor región

C

es el semicírculo de un lado de ese diámetro.

El otro semicírculo consiste en el triángulo junto con las regiones

A

y

B.

Como los dos semicírculos son congruentes y el triángulo tiene área

\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,

obtenemos

A + B + 210 = C.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,

the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length

29

is a diameter of the circle. Thus the largest region

C

is the semicircle on one side of that diameter.

The other semicircle consists of the triangle together with regions

A

and

B.

Since the two semicircles are congruent and the triangle has area

\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,

we get

A + B + 210 = C.

Thus, the correct answer is B.