1998 AMC 12 Problema 18

Question

Un cono circular recto de volumen

A,

un cilindro circular recto de volumen

M,

y una esfera de volumen

C

tienen el mismo radio, y la altura común del cono y del cilindro es igual al diámetro de la esfera. Entonces

A right circular cone of volume

A,

a right circular cylinder of volume

M,

and a sphere of volume

C

all have the same radius, and the common height of the cone and the cylinder is equal to the diameter of the sphere. Then

A-M+C=0

A+M=C

2A=M+C

A^2-M^2+C^2=0

2A+2M=3C

Sea

r

el radio común, de modo que la altura del cono y del cilindro es

2r

Let the common radius be

r

, so the cone and cylinder height is

2r

Escribe los tres volúmenes como múltiplos de

\pi r^3

Write all three volumes as multiples of

\pi r^3

Los volúmenes son

A=\frac23\pi r^3,

M=2\pi r^3,

y

C=\frac43\pi r^3.

Por tanto,

A-M+C

=(\frac{2}{3}-2+\frac{4}{3})\pi r^3=0,

así que la respuesta correcta es A.

The volumes are

A=\frac23\pi r^3,

M=2\pi r^3,

and

C=\frac43\pi r^3.

Therefore

A-M+C

=(\frac{2}{3}-2+\frac{4}{3})\pi r^3=0,

so A is correct.

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