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1994 AMC 12 Problema 13

Intenta el Problema 13 del 1994 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1994 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

En el triángulo ABC,ABC, AB=AC.AB=AC. Si hay un punto PP estrictamente entre AA y BB tal que AP=PC=CB,AP=PC=CB, entonces ∠A=\angle A=
In triangle ABC,ABC, AB=AC.AB=AC. If there is a point PP strictly between AA and BB such that AP=PC=CB,AP=PC=CB, then ∠A=\angle A=
30∘30^\circ
36∘36^\circ
48∘48^\circ
60∘60^\circ
72∘72^\circ
Respuesta: B
Conceptos:isosceles trianglespersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1960
Pista pequeña:
Sea ∠A=θ\angle A=\theta y usa AP=PCAP=PC en △APC\triangle APC
Let ∠A=θ\angle A=\theta and use AP=PCAP=PC in △APC\triangle APC
Pista grande:
Usa PC=CBPC=CB para relacionar ∠PCB\angle PCB con un ángulo de la base de △ABC\triangle ABC
Use PC=CBPC=CB to relate ∠PCB\angle PCB to a base angle of △ABC\triangle ABC
Solución:
Sea ∠A=θ.\angle A=\theta. Como AP=PC,AP=PC, el triángulo APCAPC tiene ∠PAC=∠PCA=θ.\angle PAC=\angle PCA=\theta. Como AB=AC,AB=AC, cada ángulo de la base de △ABC\triangle ABC es 180∘−θ2.\frac{180^\circ-\theta}{2}. Además, PC=CB,PC=CB, de modo que los ángulos de la base de △PCB\triangle PCB, en PP y BB, son iguales; el de BB es 180∘−θ2.\frac{180^\circ-\theta}{2}. Por consiguiente, ∠PCB=θ.\angle PCB=\theta. En C,C, 2θ=180∘−θ2, 2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2}, lo cual da 5θ=180∘5\theta=180^\circ y θ=36∘.\theta=36^\circ. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let ∠A=θ.\angle A=\theta. Since AP=PC,AP=PC, triangle APCAPC has ∠PAC=∠PCA=θ.\angle PAC=\angle PCA=\theta. Since AB=AC,AB=AC, each base angle of △ABC\triangle ABC is 180∘−θ2.\frac{180^\circ-\theta}{2}. Also PC=CB,PC=CB, so the base angles of △PCB\triangle PCB at PP and BB are equal; the one at BB is 180∘−θ2.\frac{180^\circ-\theta}{2}. Hence ∠PCB=θ.\angle PCB=\theta. At C,C, 2θ=180∘−θ2, 2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2}, giving 5θ=180∘5\theta=180^\circ and θ=36∘.\theta=36^\circ. Thus the correct answer is B.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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