1993 AMC 12 Problema 20

Question

Considera la ecuación

10z^2-3iz-k=0,

donde

z

es una variable compleja e

i^2=-1.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Consider the equation

10z^2-3iz-k=0,

where

z

is a complex variable and

i^2=-1.

Which of the following statements is true?

Para todo número real positivo

k,

ambas raíces son imaginarias puras.

For all positive real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

Para todo número real negativo

k,

ambas raíces son imaginarias puras.

For all negative real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

Para todo número imaginario puro

k,

ambas raíces son reales y racionales.

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and rational.

Para todo número imaginario puro

k,

ambas raíces son reales e irracionales.

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and irrational.

Para todo número complejo

k,

ninguna raíz es real.

For all complex numbers

k,

neither root is real.

Respuesta: B

Conceptos:quadratic formula complex numbers pure imaginary numbers

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica la fórmula cuadrática y simplifica el discriminante

Apply the quadratic formula and simplify the discriminant

Pista grande:

Para un

k

real negativo, determina el tipo de

\sqrt{-9+40k}

For negative real

k,

determine the type of

\sqrt{-9+40k}

Solución:

Las raíces son

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.

Si

k

es real y negativo, entonces

-9+40k

es real y negativo, por lo que sus raíces cuadradas son imaginarias puras. Así, ambos valores resultantes de

z

son imaginarios puros. Las demás afirmaciones universales son falsas; por ejemplo, basta tomar

k=1,

i,

o

0

según corresponda. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The roots are

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.

If

k

is negative and real, then

-9+40k

is negative real, so its square roots are pure imaginary. Both resulting values of

z

are therefore pure imaginary. The other universal claims fail, for example by taking

k=1,

i,

or

0

as appropriate. Thus the correct answer is B.