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1964 AMC 12 Problema 21

Intenta el Problema 21 del 1964 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1964 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Si log⁡b2x+log⁡x2b=1,\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1, donde b>0,b\gt0, b≠1,b\ne1, y x≠1,x\ne1, entonces xx es igual a:
If log⁡b2x+log⁡x2b=1,\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1, where b>0,b\gt0, b≠1,b\ne1, and x≠1,x\ne1, then xx equals:
1b2\dfrac1{b^2}
1b\dfrac1b
b2b^2
bb
b\sqrt b
Respuesta: D
Conceptos:logaritmosustituciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Sea t=log⁡bxt=\log_bx
Let t=log⁡bxt=\log_bx
Pista grande:
La ecuación se convierte en t2+12t=1\frac t2+\frac1{2t}=1
The equation becomes t2+12t=1\frac t2+\frac1{2t}=1
Solución:
Sea t=log⁡bx.t=\log_bx. Entonces log⁡b2x=t2\log_{b^2}x=\frac{t}{2} y log⁡x2b=12t.\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}. Así, t+1t=2,t+\frac1t=2, por lo que (t−1)2=0(t-1)^2=0 y t=1.t=1. Por tanto, x=b.x=b.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let t=log⁡bx.t=\log_bx. Then log⁡b2x=t2\log_{b^2}x=\frac{t}{2} and log⁡x2b=12t.\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}. Thus t+1t=2,t+\frac1t=2, so (t−1)2=0(t-1)^2=0 and t=1.t=1. Hence x=b.x=b.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 20#20
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Problema 22#22

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