Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1960 AMC 12 Problema 18

Intenta el Problema 18 del 1960 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1960 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

El sistema de ecuaciones 3x+y=813^{x+y}=81 y 81x−y=381^{x-y}=3 tiene:
The pair of equations 3x+y=813^{x+y}=81 and 81x−y=381^{x-y}=3 has:
ninguna solución común
no common solution
la solución x=2,x=2, y=2y=2
the solution x=2,x=2, y=2y=2
la solución x=212,x=2\dfrac12, y=112y=1\dfrac12
the solution x=212,x=2\dfrac12, y=112y=1\dfrac12
una solución común formada por un entero positivo y uno negativo
a common solution in positive and negative integers
ninguna de estas
none of these
Respuesta: E
Conceptos:exponentesistema de ecuacionessustitución
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Reescribe 8181 como 343^4 en ambas ecuaciones
Rewrite 8181 as 343^4 in both equations
Pista grande:
Resuelve el sistema resultante para x+yx+y y x−yx-y
Solve the resulting system for x+yx+y and x−yx-y
Solución:
La primera ecuación da x+y=4.x+y=4. La segunda da 34(x−y)=3, 3^{4(x-y)}=3, así que x−y=14.x-y=\frac{1}{4}. Por lo tanto, x=178x=\frac{17}{8} y y=158.y=\frac{15}{8}. Este par no aparece entre las primeras cuatro opciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The first equation gives x+y=4.x+y=4. The second gives 34(x−y)=3, 3^{4(x-y)}=3, so x−y=14.x-y=\frac{1}{4}. Therefore x=178x=\frac{17}{8} and y=158.y=\frac{15}{8}. This pair is not listed among the first four choices.
Thus, the correct answer is E.
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

El Problema 18 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B