2023 AMC 12B 第 17 题

Question

三角形

ABC

的边长成等差数列，且最短边长为

6

。如果这个三角形有一个

120^\circ

角，那么

ABC

的面积是多少？

Triangle

ABC

has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length

6.

If the triangle has an angle of

120^\circ,

what is the area of

ABC?

12\sqrt{3}

8\sqrt{6}

14\sqrt{2}

20\sqrt{2}

15\sqrt{3}

答案：E

知识点：等差数列余弦定理三角形面积

难度评级：1630

小提示：

设边长为

6,\ 6+d,\ 6+2d

；

120^\circ

角对着最长边

Let the sides be

6,\ 6+d,\ 6+2d;

the

120^\circ

angle is opposite the longest side

大提示：

用余弦定理和

\cos 120^\circ=-\tfrac12

求出

d

，再用面积

=\tfrac12ab\sin 120^\circ

。

Apply the law of cosines with

\cos 120^\circ=-\tfrac12

to find

d,

then area

=\tfrac12ab\sin 120^\circ

解答：

设边长为

6,\ 6+d,\ 6+2d

。

120^\circ

角对着最长边，所以

(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2

-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ

。用

\cos 120^\circ=-\tfrac12

得

3d^2+6d-72=0

，所以

d=4

，边长为

6,10,14

。面积为

\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ

=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}

=15\sqrt3

。

因此，正确答案是 E。

Let the sides be

6,\ 6+d,\ 6+2d.

The

120^\circ

angle faces the longest side, so

(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2

-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.

Using

\cos 120^\circ=-\tfrac12

gives

3d^2+6d-72=0,

so

d=4

and the sides are

6,10,14.

The area is

\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ

=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}

=15\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 17 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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