2019 AMC 12B 第 17 题

Question

有多少个非零复数

z

满足：在复平面中，

0

、

z

、

z^3

所表示的点是一个等边三角形的三个不同顶点？

How many nonzero complex numbers

z

have the property that

0,

z,

and

z^3,

when represented by points in the complex plane, are the three distinct vertices of an equilateral triangle?

0

1

2

4

无穷多个

infinitely many

答案：D

知识点：复数等边三角形

难度评级：1910

小提示：

等边意味着

|z|=|z^3|=|z^3-z|

。

Equilateral means

|z|=|z^3|=|z^3-z|

大提示：

|z|=|z^3|

强制

|z|=1

；然后要求

|z^2-1|=1

。

|z|=|z^3|

forces

|z|=1;

then require

|z^2-1|=1

解答：

这三个点构成等边三角形，当且仅当

|z|=|z^3|=|z^3-z|

。由

|z|=|z^3|=|z|^3

得

|z|=1

。

于是

|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|

，所以需要

|z^2-1|=1

。写

z=e^{i\theta}

，则

|z^2-1|=2|\sin\theta|=1

，所以

|\sin\theta|=\dfrac12

。

因此

\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ

，给出四个

z

的值，并且所得顶点互不相同。

所以正确答案是 D。

The three points form an equilateral triangle iff

|z|=|z^3|=|z^3-z|.

From

|z|=|z^3|=|z|^3

we get

|z|=1.

Then

|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,

so we need

|z^2-1|=1.

Writing

z=e^{i\theta},

|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,

so

|\sin\theta|=\dfrac12.

This gives

\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,

four values of

z,

all yielding distinct vertices.

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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