2016 AMC 12B 第 17 题

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17.

如图，在

\triangle ABC

中，

AB=7

，

BC=8

，

CA=9

，且

\overline{AH}

是高。点

D

、

E

分别在边

\overline{AC}

、

\overline{AB}

上，使得

\overline{BD}

和

\overline{CE}

是角平分线，并分别与

\overline{AH}

交于

Q

和

P

。

PQ

是多少？

In

\triangle ABC

shown in the figure,

AB=7,

BC=8,

CA=9,

and

\overline{AH}

is an altitude. Points

D

and

E

lie on sides

\overline{AC}

and

\overline{AB},

respectively, so that

\overline{BD}

and

\overline{CE}

are angle bisectors, intersecting

\overline{AH}

at

Q

and

P,

respectively. What is

PQ?

1

\dfrac58\sqrt3

\dfrac45\sqrt2

\dfrac{8}{15}\sqrt5

\dfrac65

答案：D

知识点：角平分线定理高线勾股定理

难度评级：1910

小提示：

令

BH=x

，则

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2

，可得

x=2

和

AH=\sqrt{45}

。

Let

BH=x.

Then

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2,

which gives

x=2

and

AH=\sqrt{45}

大提示：

由角平分线定理，

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96

，且

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72

；然后

PQ=AQ-AP

。

By the angle bisector theorem,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96

and

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72;

then

PQ=AQ-AP

解答：

令

x=BH

，则

CH=8-x

。由两个直角三角形可得

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2

，所以

x=2

，且

AH=\sqrt{45}

。在

\triangle ACH

中，由角平分线定理，

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96

，所以

AP=\dfrac35 AH

。同理，在

\triangle ABH

中，

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72

，所以

AQ=\dfrac79 AH

。于是

\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

x=BH.

Then

CH=8-x,

and from the two right triangles

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.

This gives

x=2

and

AH=\sqrt{45}.

By the angle bisector theorem in

\triangle ACH,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,

so

AP=\dfrac35 AH.

Similarly in

\triangle ABH,

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,

so

AQ=\dfrac79 AH.

Then

\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

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