Question

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=7$ ， $BC=8$ ， $CA=9$ ，且 $\overline{AH}$ 是高。点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\overline{AC}$ 、 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{BD}$ 和 $\overline{CE}$ 是角平分线，并分别与 $\overline{AH}$ 交于 $Q$ 和 $P$ 。 $PQ$ 是多少？

In $\triangle ABC$ shown in the figure, $AB=7,$ $BC=8,$ $CA=9,$ and $\overline{AH}$ is an altitude. Points $D$ and $E$ lie on sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $\overline{BD}$ and $\overline{CE}$ are angle bisectors, intersecting $\overline{AH}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is $PQ?$

$1$

$\dfrac58\sqrt3$

$\dfrac45\sqrt2$

$\dfrac{8}{15}\sqrt5$

$\dfrac65$

答案：D

知识点：角平分线定理高线勾股定理

难度评级：1910

解答：

令 $x=BH$ ，则 $CH=8-x$ 。由两个直角三角形可得 $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2$ ，所以 $x=2$ ，且 $AH=\sqrt{45}$ 。在 $\triangle ACH$ 中，由角平分线定理， $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96$ ，所以 $AP=\dfrac35 AH$ 。同理，在 $\triangle ABH$ 中， $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72$ ，所以 $AQ=\dfrac79 AH$ 。于是 $\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Let $x=BH.$ Then $CH=8-x,$ and from the two right triangles $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.$ This gives $x=2$ and $AH=\sqrt{45}.$ By the angle bisector theorem in $\triangle ACH,$ $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,$ so $AP=\dfrac35 AH.$ Similarly in $\triangle ABH,$ $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,$ so $AQ=\dfrac79 AH.$ Then $\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1910

解答：

其他年份的第 17 题