2013 AMC 12B 第 17 题

Question

设

a

、

b

和

c

为实数，满足

a + b + c = 2

且

a^2 + b^2 + c^2 = 12\text{。}

c

的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

a + b + c = 2

and

a^2 + b^2 + c^2 = 12.

What is the difference between the maximum and minimum possible values of

c?

2

\dfrac{10}{3}

4

\dfrac{16}{3}

\dfrac{20}{3}

答案：D

知识点：二次方程不等式极端原理

难度评级：1960

小提示：

写成

a + b = 2 - c

和

a^2 + b^2 = 12 - c^2

。

Write

a + b = 2 - c

and

a^2 + b^2 = 12 - c^2

大提示：

具有给定的和与平方和的实数

a, b

存在，当且仅当

(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)

。

Real

a, b

with a given sum and sum of squares exist iff

(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)

解答：

由方程可得

a + b = 2 - c

和

a^2 + b^2 = 12 - c^2

。具有给定的和与平方和的实数

a, b

存在，当且仅当

(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)

，也就是

(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2)

。化简得

(3c - 10)(c + 2) \le 0

，所以

-2 \le c \le \tfrac{10}{3}

。最大值与最小值之差为

\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}

。所以正确答案是 D。

From the equations,

a + b = 2 - c

and

a^2 + b^2 = 12 - c^2.

Real numbers

a, b

with a given sum and sum of squares exist iff

(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),

i.e.

(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).

This simplifies to

(3c - 10)(c + 2) \le 0,

so

-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.

The difference is

\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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