2011 AMC 12A 第 17 题

Question

半径为

1

，

2

，和

3

的三个圆两两外切。由这些切点确定的三角形面积是多少？

Circles with radii

1,

2,

and

3

are mutually externally tangent. What is the area of the triangle determined by the points of tangency?

\dfrac{3}{5}

\dfrac{4}{5}

1

\dfrac{6}{5}

\dfrac{4}{3}

答案：D

知识点：相切圆坐标几何鞋带公式

难度评级：1920

小提示：

圆心形成一个边长为

1+2

，

2+3

，

1+3

，即

3

-

4

-

5

的直角三角形

The centers form a triangle with sides

1+2,

2+3,

1+3,

i.e. a

3

-

4

-

5

right triangle

大提示：

把直角放在半径为

1

的圆心处，并在连接圆心的线段上定位各个切点

Put the right angle at the center of the radius-

1

circle and locate each tangency point on the connecting segment

解答：

圆心之间的距离等于半径和：

3

，

4

，和

5

，形成一个直角三角形，直角在半径为

1

的圆心处。把该圆心放在

(0,0)

，半径为

2

的圆心放在

(3,0)

，半径为

3

的圆心放在

(0,4)

。

切点在线段上，距离等于相应半径：

(1, 0)

，

(0, 1)

，以及斜边上的

(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right)

。

由鞋带公式，面积为

\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65 \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 D。

The centers are separated by the sums of radii:

3,

4,

and

5,

a right triangle with the right angle at the radius-

1

center. Place that center at

(0,0),

the radius-

2

center at

(3,0),

and the radius-

3

center at

(0,4).

The tangency points lie on the segments at distances equal to the radii:

(1, 0),

(0, 1),

and on the hypotenuse at

(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).

By the shoelace formula the area is

\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题