2010 AMC 12A 第 17 题

Question

等角六边形

ABCDEF

的边长满足

AB=CD=EF=1

和

BC=DE=FA=r\text{。}

\triangle ACE

的面积是六边形面积的

70\%

。

r

的所有可能值之和是多少？

Equiangular hexagon

ABCDEF

has side lengths

AB=CD=EF=1

and

BC=DE=FA=r.

The area of

\triangle ACE

is

70\%

of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of

r?

\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

\dfrac{10}{3}

4

\dfrac{17}{4}

6

答案：E

知识点：等角多边形余弦定理韦达定理

难度评级：1960

小提示：

将六边形分成

\triangle ACE

和三个角上的三角形。

Split the hexagon into

\triangle ACE

and three corner triangles

大提示：

用

r^2+r+1

和

r

表示两个面积。

Express both areas using

r^2+r+1

and

r

解答：

注意

\triangle ACE

是等边三角形。在

\triangle ABC

中用余弦定理，得

AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ

=r^2+r+1

。

因此

\triangle ACE

的面积为

\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1)\text{。}

三个角上的三角形

\triangle ABC

、

\triangle CDE

和

\triangle EFA

各自面积为

\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}

。

所以六边形面积为

\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)

+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}

=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1)

。

条件

[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]

给出

r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1)\text{，}

所以

r^2-6r+1=0

。

由韦达定理，

r

的所有可能值之和为

6

。

因此 E 是正确答案。

Note that

\triangle ACE

is equilateral. Using the Law of Cosines in

\triangle ABC,

we get

AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ

=r^2+r+1.

The area of

\triangle ACE

is then

\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).

The three corner triangles

\triangle ABC,

\triangle CDE,

and

\triangle EFA

each have area

\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.

Thus the hexagon has area

\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)

+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}

=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).

The condition

[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]

gives

r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),

so

r^2-6r+1=0.

By Vieta’s formulas, the sum of the possible values of

r

is

6.

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 17 题

答案：E

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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