Question

等角六边形 $ABCDEF$ 的边长满足和 $\triangle ACE$ 的面积是六边形面积的 $70\%$ 。 $r$ 的所有可能值之和是多少？ $AB=CD=EF=1$ $BC=DE=FA=r.$

Equiangular hexagon $ABCDEF$ has side lengths $AB=CD=EF=1$ and $BC=DE=FA=r.$ The area of $\triangle ACE$ is $70\%$ of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of $r?$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{17}{4}$

$6$

答案：E

知识点：等角多边形余弦定理韦达定理

难度评级：1960

解答：

注意 $\triangle ACE$ 是等边三角形。在 $\triangle ABC$ 中用余弦定理，得 $AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1$ 。

因此 $\triangle ACE$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

三个角上的三角形 $\triangle ABC$ 、 $\triangle CDE$ 和 $\triangle EFA$ 各自面积为 $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}$ 。

所以六边形面积为 $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1)$ 。

条件 $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ 给出所以 $r^2-6r+1=0$ 。 $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$

由韦达定理， $r$ 的所有可能值之和为 $6$ 。

因此 E 是正确答案。

Note that $\triangle ACE$ is equilateral. Using the Law of Cosines in $\triangle ABC,$ we get $AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

The area of $\triangle ACE$ is then $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

The three corner triangles $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ and $\triangle EFA$ each have area $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Thus the hexagon has area $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

The condition $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ gives $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ so $r^2-6r+1=0.$

By Vieta's formulas, the sum of the possible values of $r$ is $6.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 17 题

答案：E

难度评级：1960

解答：

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