2025 AMC 12B Problema 6

Question

Emmy le dice a Max: “Hoy encargué

36

sudaderas del club de matemáticas.” Max pregunta: “¿Cuánto costó cada camiseta?” Emmy responde: “Te doy una pista. El costo total fue

\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},

donde

A

y

B

son dígitos y

A \neq 0.

” Tras una pausa, Max dice: “Fue un buen precio.” ¿Cuánto vale

A + B

?

Emmy says to Max, “I ordered

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math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was

\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},

where

A

and

B

are digits and

A \neq 0.

” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is

A + B?

7

8

11

14

15

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

En centavos, el total es

10001A + 1110B,

y debe ser divisible entre

36

.

In cents the total is

10001A + 1110B,

and it must be divisible by

36

Pista grande:

Reduce módulo

36

para obtener

7A + 6B \equiv 0,

y luego prueba dígitos con

A \neq 0

.

Reduce modulo

36

to get

7A + 6B \equiv 0,

then test digits with

A \neq 0

Solución:

El total en centavos es

10000A + 1110B + A

= 10001A + 1110B,

que debe ser múltiplo de

36.

Como

10001 \equiv 29

y

1110 \equiv 30 \pmod{36},

la condición es

29A + 30B \equiv 0,

es decir,

7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.

Al reducir de nuevo módulo

6

, obtenemos

A\equiv0\pmod6,

así que el único dígito no nulo posible es

A=6.

Entonces

42+6B

es divisible entre

36

solo para el dígito

B=5.

En efecto,

\$655.56 = 36 \times \$18.21,

de modo que

A+B=11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total in cents is

10000A + 1110B + A

= 10001A + 1110B,

which must be a multiple of

36.

Since

10001 \equiv 29

and

1110 \equiv 30 \pmod{36},

the condition is

29A + 30B \equiv 0,

i.e.

7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.

Reducing once more modulo

6

gives

A\equiv0\pmod6,

so the only possible nonzero digit is

A=6.

Then

42+6B

is divisible by

36

only for the digit

B=5.

Indeed

\$655.56 = 36 \times \$18.21,

so

A+B=11.

Thus, the correct answer is C.