Question

Emmy le dice a Max: "Hoy encargué $36$ sudaderas del club de matemáticas." Max pregunta: "¿Cuánto costó cada camiseta?" Emmy responde: "Te doy una pista. El costo total fue $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ donde $A$ y $B$ son dígitos y $A \neq 0.$ " Tras una pausa, Max dice: "Fue un buen precio." ¿Cuánto vale $A + B$ ?

Emmy says to Max, "I ordered $36$ math club sweatshirts today." Max asks, "How much did each shirt cost?" Emmy responds, "I'll give you a hint. The total cost was $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ where $A$ and $B$ are digits and $A \neq 0.$ " After a pause, Max says, "That was a good price." What is $A + B?$

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El total en centavos es $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ que debe ser múltiplo de $36.$ Como $10001 \equiv 29$ y $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ la condición es $29A + 30B \equiv 0,$ es decir, $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ Al reducir de nuevo módulo $6$ , obtenemos $A\equiv0\pmod6,$ así que el único dígito no nulo posible es $A=6.$ Entonces $42+6B$ es divisible entre $36$ solo para el dígito $B=5.$ En efecto, $\$655.56 = 36 \times \$18.21,$ de modo que $A+B=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total in cents is $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ which must be a multiple of $36.$ Since $10001 \equiv 29$ and $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ the condition is $29A + 30B \equiv 0,$ i.e. $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ Reducing once more modulo $6$ gives $A\equiv0\pmod6,$ so the only possible nonzero digit is $A=6.$ Then $42+6B$ is divisible by $36$ only for the digit $B=5.$ Indeed $\$655.56 = 36 \times \$18.21,$ so $A+B=11.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 6

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El Problema 6 en otros años